同济高数 第2章 第2-4-7题

教材习题

📝 题目

7．已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{t} \sin t, \\ y=\mathrm{e}^{t} \cos t,\end{array}\right.$ 求当 $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$ 时 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的值．

💡 答案解析

[AI解答]

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已知参数方程： $$ \begin{cases} x = e^{t} \sin t, \\ y = e^{t} \cos t, \end{cases} $$ 要求 $ t = \frac{\pi}{3} $ 时的 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$。

首先，由参数方程求导公式： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}. $$

分别计算： $$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( e^{t} \sin t \right) = e^{t} \sin t + e^{t} \cos t = e^{t} (\sin t + \cos t). $$ $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( e^{t} \cos t \right) = e^{t} \cos t - e^{t} \sin t = e^{t} (\cos t - \sin t). $$

于是： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{e^{t} (\cos t - \sin t)}{e^{t} (\sin t + \cos t)} = \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t}. $$

代入 $ t = \frac{\pi}{3} $： $$ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}. $$

所以： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \bigg|_{t = \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}. $$

有理化分母： $$ \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{-( \sqrt{3} - 1)^2}{2}. $$ 而 $(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$，因此： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \frac{-(4 - 2\sqrt{3})}{2} = -2 + \sqrt{3}. $$

因此，所求导数值为： $$ \boxed{\sqrt{3} - 2}. $$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：写出参数方程求导公式
由参数方程求导公式：\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)
公式：\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}
步骤 2/6
目标：计算dx/dt
对\(x = e^t \sin t\)求导：\(\frac{dx}{dt} = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t (\sin t + \cos t)\)
公式：\frac{d}{dt}(e^t \sin t) = e^t \sin t + e^t \cos t
提示：使用乘积法则
步骤 3/6
目标：计算dy/dt
对\(y = e^t \cos t\)求导：\(\frac{dy}{dt} = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t (\cos t - \sin t)\)
公式：\frac{d}{dt}(e^t \cos t) = e^t \cos t - e^t \sin t
提示：使用乘积法则
步骤 4/6
目标：代入公式化简
将导数代入公式：\(\frac{dy}{dx} = \frac{e^t (\cos t - \sin t)}{e^t (\sin t + \cos t)} = \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t}\)
提示：约去公因子\(e^t\)
步骤 5/6
目标：代入t=π/3
代入\(t = \frac{\pi}{3}\)，\(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)，得\(\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}\)
步骤 6/6
目标：有理化分母并化简
有理化：\(\frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{-(\sqrt{3} - 1)^2}{2}\)，而\((\sqrt{3} - 1)^2 = 4 - 2\sqrt{3}\)，所以\(\frac{dy}{dx} = \frac{-(4 - 2\sqrt{3})}{2} = -2 + \sqrt{3}\)
提示：注意分子分母同乘共轭

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