同济高数 第2章 第2-5-2题
📝 题目
2．设函数 $y=f(x)$ 的图形如图 2－12，试在图 2－12（a）、（b）、（c）、（d）中分别标出在点 $x_{0}$ 的 $\mathrm{d} y$ ， $\Delta y$ 及 $\Delta y-\mathrm{d} y$ ，并说明其正负．
💡 答案解析
[AI解答]
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本题要求根据函数 $y=f(x)$ 的图形，在点 $x_0$ 处标出微分 $\mathrm{d}y$、增量 $\Delta y$ 以及它们的差 $\Delta y - \mathrm{d}y$，并说明正负。我们利用微分的几何意义：在点 $x_0$ 处，$\Delta y$ 是函数值的实际增量（纵坐标的变化），$\mathrm{d}y$ 是切线纵坐标的增量（即 $f'(x_0)\Delta x$），而 $\Delta y - \mathrm{d}y$ 是函数曲线与切线之间的“竖直差距”。
设 $\Delta x > 0$（图中通常向右取增量），则：
- **图 (a)**：曲线在 $x_0$ 附近是**凸函数**（上凸，即二阶导数 $f''(x_0)<0$），切线位于曲线上方。此时： - $\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$，对应曲线上的纵坐标差，**正**。 - $\mathrm{d}y = f'(x_0)\Delta x$，对应切线上的纵坐标差，**正**。 - 由于切线在上，$\mathrm{d}y > \Delta y$，所以 $\Delta y - \mathrm{d}y$ **为负**。
- **图 (b)**：曲线在 $x_0$ 附近是**凹函数**（下凸，即 $f''(x_0)>0$），切线位于曲线下方。此时： - $\Delta y > 0$，**正**。 - $\mathrm{d}y > 0$，**正**。 - 由于曲线在上，$\Delta y > \mathrm{d}y$，所以 $\Delta y - \mathrm{d}y$ **为正**。
- **图 (c)**：曲线在 $x_0$ 附近**递减且上凸**（$f'(x_0)<0$，$f''(x_0)<0$），切线在上方。此时： - $\Delta y < 0$（因为函数下降），**负**。 - $\mathrm{d}y < 0$（切线也下降），**负**。 - 切线在上方意味着 $\mathrm{d}y$ 的绝对值更大（下降更快），即 $\mathrm{d}y < \Delta y < 0$，所以 $\Delta y - \mathrm{d}y > 0$，**为正**。
- **图 (d)**：曲线在 $x_0$ 附近**递减且下凸**（$f'(x_0)<0$，$f''(x_0)>0$），切线在下方。此时： - $\Delta y < 0$，**负**。 - $\mathrm{d}y < 0$，**负**。 - 曲线在下方意味着 $\Delta y$ 的绝对值更大（下降更快），即 $\Delta y < \mathrm{d}y < 0$，所以 $\Delta y - \mathrm{d}y < 0$，**为负**。
**图示标法说明**（在图中对应位置标出）： - 在 $x_0$ 处作切线。 - 从 $x_0$ 到 $x_0+\Delta x$，曲线上的纵坐标差为 $\Delta y$（用带箭头的竖直线段表示，从 $(x_0, f(x_0))$ 到 $(x_0+\Delta x, f(x_0+\Delta x))$）。 - 切线上的纵坐标差为 $\mathrm{d}y$（从 $(x_0, f(x_0))$ 到 $(x_0+\Delta x, f(x_0)+f'(x_0)\Delta x)$）。 - 两者之差 $\Delta y - \mathrm{d}y$ 即为曲线与切线在 $x_0+\Delta x$ 处的竖直距离（带正负号）。
**总结正负表**：
| 图形 | $\Delta y$ | $\mathrm{d}y$ | $\Delta y - \mathrm{d}y$ | |------|------------|--------------|--------------------------| | (a) | 正 | 正 | 负 | | (b) | 正 | 正 | 正 | | (c) | 负 | 负 | 正 | | (d) | 负 | 负 | 负 |
难度：★★☆☆☆