同济高数 第2章 第2-5-9题

[AI解答]

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我们利用当 $x \to 0$ 时，函数的一阶泰勒展开（或等价无穷小）来证明这些近似公式。

**(1)** 证明 $\tan x \approx x$ 当 $|x|$ 很小时，由泰勒展开： $$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \cdots $$ 忽略高阶项，得 $\tan x \approx x$。

**(2)** 证明 $\ln(1+x) \approx x$ 由对数函数的展开： $$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $$ 忽略高阶项，得 $\ln(1+x) \approx x$。

**(3)** 证明 $\sqrt[n]{1+x} \approx 1 + \frac{1}{n}x$ 将 $(1+x)^{\frac{1}{n}}$ 展开： $$ (1+x)^{\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{n}x + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}-1\right)x^2 + \cdots $$ 忽略二次及以上项，得 $\sqrt[n]{1+x} \approx 1 + \frac{1}{n}x$。

**(4)** 证明 $\mathrm{e}^{x} \approx 1 + x$ 指数函数的展开： $$ \mathrm{e}^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$ 忽略高阶项，得 $\mathrm{e}^{x} \approx 1 + x$。

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**计算近似值：**

1. $\tan 45'$ 先将 $45'$ 化为弧度： $$ 45' = \frac{45}{60} \text{度} = 0.75^\circ $$ 弧度值为： $$ x = 0.75 \times \frac{\pi}{180} = \frac{0.75\pi}{180} = \frac{\pi}{240} $$ 近似计算： $$ \frac{\pi}{240} \approx \frac{3.1416}{240} \approx 0.01309 $$ 由公式 $\tan x \approx x$，得： $$ \tan 45' \approx 0.01309 $$

2. $\ln 1.002$ 令 $x = 0.002$，由 $\ln(1+x) \approx x$，得： $$ \ln 1.002 \approx 0.002 $$

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**难度评级：** ★☆☆☆☆