同济高数 第3章 第3-1-10题

教材习题

📝 题目

10．设 $a\gt b\gt 0$ ，证明：$\displaystyle \frac{a-b}{a}\lt \ln \frac{a}{b}\lt \frac{a-b}{b}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

要证明不等式： $$ \frac{a-b}{a} < \ln\frac{a}{b} < \frac{a-b}{b}, \quad a > b > 0. $$

**步骤1：变量代换** 令 $ t = \frac{a}{b} > 1 $，则原不等式化为： $$ \frac{t-1}{t} < \ln t < t-1. $$ 因此只需证明对任意 $ t > 1 $ 有： $$ \frac{t-1}{t} < \ln t < t-1. $$

**步骤2：证明右边不等式** 考虑函数 $ f(t) = \ln t - (t-1) $，则 $ f(1) = 0 $。 求导： $$ f'(t) = \frac{1}{t} - 1 = \frac{1-t}{t} < 0 \quad (t > 1). $$ 所以 $ f(t) $ 在 $ t > 1 $ 时严格递减，故 $ f(t) < f(1) = 0 $，即： $$ \ln t < t-1. $$

**步骤3：证明左边不等式** 考虑函数 $ g(t) = \ln t - \frac{t-1}{t} $，则 $ g(1) = 0 $。 求导： $$ g'(t) = \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} = \frac{t-1}{t^2} > 0 \quad (t > 1). $$ 所以 $ g(t) $ 在 $ t > 1 $ 时严格递增，故 $ g(t) > g(1) = 0 $，即： $$ \ln t > \frac{t-1}{t}. $$

**步骤4：回代** 由 $ t = \frac{a}{b} $ 得： $$ \frac{a-b}{a} < \ln\frac{a}{b} < \frac{a-b}{b}. $$ 证毕。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：变量代换简化不等式
令 t = a/b > 1，则原不等式化为 (t-1)/t < ln t < t-1。
公式：t = a/b
提示：通过代换将双变量问题转化为单变量问题。
步骤 2/4
目标：证明右边不等式 ln t < t-1
考虑函数 f(t)=ln t - (t-1)，求导得 f'(t)=1/t - 1 = (1-t)/t < 0 (t>1)，故 f(t) 严格递减，f(t) < f(1)=0，即 ln t < t-1。
公式：f'(t) = 1/t - 1
提示：构造函数并利用单调性证明不等式。
步骤 3/4
目标：证明左边不等式 ln t > (t-1)/t
考虑函数 g(t)=ln t - (t-1)/t，求导得 g'(t)=1/t - 1/t^2 = (t-1)/t^2 > 0 (t>1)，故 g(t) 严格递增，g(t) > g(1)=0，即 ln t > (t-1)/t。
公式：g'(t) = (t-1)/t^2
提示：同样利用单调性，注意求导化简。
步骤 4/4
目标：回代得到原不等式
将 t = a/b 代入已证不等式，即得 (a-b)/a < ln(a/b) < (a-b)/b。
提示：完成代换回原变量。

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