同济高数 第3章 第3-1-2题
📝 题目
2．验证拉格朗日中值定理对函数 $y=4 x^{3}-5 x^{2}+x-2$ 在区间 $[0,1]$ 上的正确性．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要验证拉格朗日中值定理对函数 $$ y = 4x^{3} - 5x^{2} + x - 2 $$ 在区间 $[0,1]$ 上的正确性，需验证存在一点 $\xi \in (0,1)$，使得 $$ f'(\xi) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0}. $$
**第一步：计算端点函数值** $$ f(0) = 4\cdot 0^{3} - 5\cdot 0^{2} + 0 - 2 = -2, $$ $$ f(1) = 4\cdot 1^{3} - 5\cdot 1^{2} + 1 - 2 = 4 - 5 + 1 - 2 = -2. $$ 于是 $$ \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = \frac{-2 - (-2)}{1} = 0. $$
**第二步：求导数并令其等于0** $$ f'(x) = 12x^{2} - 10x + 1. $$ 令 $$ 12x^{2} - 10x + 1 = 0, $$ 解二次方程： $$ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 48}}{24} = \frac{10 \pm \sqrt{52}}{24} = \frac{10 \pm 2\sqrt{13}}{24} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{12}. $$
**第三步：验证根是否在区间 $(0,1)$ 内** 由于 $$ \sqrt{13} \approx 3.6055, $$ 两个根为 $$ \xi_1 = \frac{5 - 3.6055}{12} \approx \frac{1.3945}{12} \approx 0.1162, $$ $$ \xi_2 = \frac{5 + 3.6055}{12} \approx \frac{8.6055}{12} \approx 0.7171. $$ 二者均在 $(0,1)$ 内，因此存在满足条件的 $\xi$，拉格朗日中值定理成立。
**结论**：函数在 $[0,1]$ 上连续、可导，且存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $f'(\xi)=0$，定理验证正确。
难度：★☆☆☆☆