同济高数 第3章 第3-2-*4题
📝 题目
＊4．讨论函数
$$ f(x)= \begin{cases}{\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\mathrm{e}}\right]^{\frac{1}{x}},} & x\gt 0, \\ \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, & x \leqslant 0\end{cases} $$
在点 $x=0$ 处的连续性．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们讨论函数 $$ f(x)= \begin{cases} \displaystyle{\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\mathrm{e}}\right]^{\frac{1}{x}}}, & x>0, \$$1em] \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, & x \leqslant 0 \end{cases} $$ 在 $x=0$ 处的连续性，即需要验证 $$ \lim_{x\to 0^+} f(x) = f(0) = \mathrm{e}^{-\frac12}. $$
**步骤1：将 $x>0$ 时的表达式取对数** 设 $$ y(x) = \left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\mathrm{e}}\right]^{\frac{1}{x}}, \quad x>0. $$ 取自然对数： $$ \ln y(x) = \frac{1}{x}\left[ \frac{1}{x}\ln(1+x) - 1 \right] = \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}. $$
**步骤2：计算 $x\to 0^+$ 时的极限** 利用 $\ln(1+x)$ 的泰勒展开： $$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $$ 于是 $$ \ln(1+x) - x = -\frac{x^2}{2} + O(x^3). $$ 因此 $$ \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2} = \lim_{x\to 0^+} \frac{-\frac{x^2}{2} + O(x^3)}{x^2} = -\frac12. $$
**步骤3：还原为 $f(x)$ 的极限** 由对数极限得 $$ \lim_{x\to 0^+} \ln y(x) = -\frac12, $$ 所以 $$ \lim_{x\to 0^+} f(x) = \mathrm{e}^{-\frac12}. $$
**步骤4：与左极限及函数值比较** 当 $x \le 0$ 时，$f(x)=\mathrm{e}^{-1/2}$，故 $$ \lim_{x\to 0^-} f(x) = \mathrm{e}^{-1/2}, \quad f(0)=\mathrm{e}^{-1/2}. $$ 因此 $$ \lim_{x\to 0} f(x) = f(0), $$ 函数在 $x=0$ 处连续。
**结论**：函数在 $x=0$ 处连续。
难度：★★☆☆☆