同济高数 第3章 第3-4-1题
📝 题目
1．判定函数 $f(x)=\arctan x-x$ 的单调性．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们判定函数 $ f(x) = \arctan x - x $ 的单调性，首先求其导数：
$$ f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - 1 $$
将右边通分：
$$ f'(x) = \frac{1 - (1 + x^2)}{1 + x^2} = \frac{-x^2}{1 + x^2} $$
由于分母 $1 + x^2 > 0$ 对所有实数 $x$ 成立，而分子 $-x^2 \leq 0$，且仅在 $x=0$ 时等于零，因此：
- 当 $x \neq 0$ 时，$f'(x) < 0$； - 当 $x = 0$ 时，$f'(x) = 0$。
导数在 $x=0$ 处为零但不改变符号（始终非正），故函数在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递减。
因此，$f(x) = \arctan x - x$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上是严格单调递减函数。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求导数
对函数 f(x) = arctan x - x 求导，得到 f'(x) = 1/(1+x^2) - 1。
公式：f'(x) = 1/(1+x^2) - 1
提示：注意 arctan x 的导数为 1/(1+x^2)。
步骤 2/4
目标：化简导数表达式
将 f'(x) 通分：f'(x) = (1 - (1+x^2))/(1+x^2) = -x^2/(1+x^2)。
公式：f'(x) = -x^2/(1+x^2)
提示：通分时注意符号。
步骤 3/4
目标：分析导数的符号
分母 1+x^2 > 0 恒成立，分子 -x^2 ≤ 0，当 x=0 时导数为 0，当 x≠0 时导数小于 0。
提示：导数非正，且仅在一点为零，说明函数严格单调递减。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于 f'(x) ≤ 0 且不恒为零，函数 f(x) 在 R 上严格单调递减。
提示：单调递减区间为 (-∞, +∞)。
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