同济高数 第3章 第3-4-13题
📝 题目
13．问 $a, b$ 为何值时，点 $(1,3)$ 为曲线 $y=a x^{3}+b x^{2}$ 的拐点？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知曲线方程为 $$ y = a x^{3} + b x^{2} $$ 拐点处需满足二阶导数为零且在该点左右二阶导数变号。
首先求一阶导数： $$ y' = 3a x^{2} + 2b x $$ 再求二阶导数： $$ y'' = 6a x + 2b $$
若点 $(1,3)$ 是拐点，则必须满足两个条件：
1. 该点在曲线上，即 $x=1$ 时 $y=3$： $$ a \cdot 1^{3} + b \cdot 1^{2} = a + b = 3 $$
2. 该点处二阶导数为零： $$ y''(1) = 6a \cdot 1 + 2b = 6a + 2b = 0 $$ 化简得 $$ 3a + b = 0 $$
联立方程组： $$ \begin{cases} a + b = 3 \\ 3a + b = 0 \end{cases} $$ 两式相减得： $$ (3a + b) - (a + b) = 0 - 3 \quad\Rightarrow\quad 2a = -3 $$ 所以 $$ a = -\frac{3}{2} $$ 代入 $a + b = 3$ 得： $$ -\frac{3}{2} + b = 3 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{9}{2} $$
还需要验证在 $x=1$ 左右二阶导数是否变号。 此时 $$ y'' = 6\left(-\frac{3}{2}\right)x + 2\left(\frac{9}{2}\right) = -9x + 9 = 9(1 - x) $$ 当 $x<1$ 时，$y''>0$；当 $x>1$ 时，$y''<0$，符号确实改变，因此 $(1,3)$ 是拐点。
因此 $$ \boxed{a=-\frac{3}{2},\quad b=\frac{9}{2}} $$
难度：★★☆☆☆