同济高数 第3章 第3-4-2题
📝 题目
2．判定函数 $f(x)=x+\cos x$ 的单调性．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要判定函数 $ f(x) = x + \cos x $ 的单调性，首先计算其导数：
$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x + \cos x) = 1 - \sin x. $$
由于对任意实数 $ x $，有 $$ -1 \leq \sin x \leq 1, $$ 因此 $$ 1 - \sin x \geq 0, $$ 且等号仅在 $\sin x = 1$ 时成立，即当 $$ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}. $$ 在这些孤立点上导数为零，其余所有点导数均大于零。
根据函数单调性的判定定理：若函数在区间上可导且导数非负，且不在任何子区间上恒为零，则函数在该区间上严格单调递增。因此，$ f(x) = x + \cos x $ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求导数
计算函数 f(x)=x+cos x 的导数 f'(x)=1-sin x。
公式：f'(x)=1-\sin x
提示：基本求导公式：x'=1, (cos x)'=-sin x。
步骤 2/3
目标：分析导数的符号
由于 sin x 的取值范围是 [-1,1]，所以 1-sin x ≥ 0，且等号仅在 sin x=1 时成立，即 x=π/2+2kπ, k∈Z。
公式：1-\sin x \geq 0
提示：正弦函数的值域为 [-1,1]。
步骤 3/3
目标：判断单调性
导数非负且只在孤立点为零，因此函数在 R 上严格单调递增。
提示：若 f'(x)≥0 且不在任何区间上恒为零，则 f(x) 严格单调递增。
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