同济高数 第3章 第3-5-5题
📝 题目
5．试利用习题 4 的结论，讨论函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}+2 \cos x$ 的极值．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们首先回顾习题4的结论（此处假设习题4给出了某种判别极值的充分条件，例如利用二阶导数或泰勒展开）。本题中，函数为 $$ f(x)=e^{x}+e^{-x}+2\cos x. $$ 由于该函数是偶函数（因为 $e^{x}+e^{-x}$ 是偶函数，$\cos x$ 也是偶函数），我们只需讨论 $x\ge 0$ 的情形，再对称得到全部极值点。
**第一步：求一阶导数** $$ f'(x)=\displaystyle{}\frac{d}{dx}\big(e^{x}+e^{-x}+2\cos x\big)=e^{x}-e^{-x}-2\sin x. $$ 令 $f'(x)=0$，即 $$ e^{x}-e^{-x}=2\sin x. $$ 显然 $x=0$ 是一个解。 考虑 $x>0$ 时，左边 $e^{x}-e^{-x}>0$，右边 $2\sin x$ 在 $(0,\pi)$ 为正，在 $(\pi,2\pi)$ 可能为负，因此可能还有其它交点，但通过分析单调性可知，$x=0$ 是唯一驻点（详细可证当 $x>0$ 时，$e^{x}-e^{-x}>2x>2\sin x$ 对 $x>0$ 成立，因此无其他解）。
**第二步：利用习题4的结论（二阶导数判别）** 计算二阶导数： $$ f''(x)=\displaystyle{}\frac{d}{dx}\big(e^{x}-e^{-x}-2\sin x\big)=e^{x}+e^{-x}-2\cos x. $$ 在 $x=0$ 处： $$ f''(0)=e^{0}+e^{0}-2\cos 0=1+1-2=0. $$ 二阶导数为零，此时无法直接用二阶导数符号判断极值，需用更高阶导数或泰勒展开。
**第三步：泰勒展开到四阶** 将 $e^{x}$、$e^{-x}$、$\cos x$ 在 $x=0$ 展开： $$ e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{5}), $$ $$ e^{-x}=1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{5}), $$ $$ \cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6}). $$ 相加得： $$ f(x)=(1+1+2)+\big(x-x+0\big)x+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1\right)x^{2}+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6}+0\right)x^{3}+\left(\frac{1}{24}+\frac{1}{24}+\frac{2}{24}\right)x^{4}+O(x^{5}). $$ 计算系数： 常数项：$1+1+2=4$， $x^2$ 系数：$\frac12+\frac12-1=0$， $x^3$ 系数：0， $x^4$ 系数：$\frac{1}{24}+\frac{1}{24}+\frac{1}{12}=\frac{1+1+2}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$。 因此 $$ f(x)=4+\frac{1}{6}x^{4}+O(x^{5}). $$ 由于 $x^4$ 项系数为正，且是偶次项，由极值的充分条件（习题4的结论推广：若最低阶非零导数为偶数阶且为正，则为极小值），可知 $x=0$ 是极小值点。
**第四步：结论** 函数在 $x=0$ 处取得极小值，极小值为 $$ f(0)=e^{0}+e^{0}+2\cos 0=1+1+2=4. $$ 由偶函数对称性，没有其他极值点。
**难度评级**：★★★☆☆ （需要泰勒展开到四阶，并利用习题结论，有一定技巧性）