同济高数 第3章 第3-7-2题
📝 题目
2．求曲线 $y=\ln \sec x$ 在点 $(x, y)$ 处的曲率及曲率半径．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求曲线 $ y = \ln(\sec x) $ 在任意点 $(x, y)$ 处的曲率 $K$ 和曲率半径 $R$。
**第一步：求一阶导数** $$ y' = \frac{d}{dx} \ln(\sec x) = \frac{1}{\sec x} \cdot \sec x \tan x = \tan x. $$
**第二步：求二阶导数** $$ y'' = \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x. $$
**第三步：曲率公式** 平面曲线 $y = f(x)$ 的曲率为 $$ K = \frac{|y''|}{\left(1 + (y')^2\right)^{3/2}}. $$ 代入 $y' = \tan x$，$y'' = \sec^2 x$，得 $$ K = \frac{|\sec^2 x|}{\left(1 + \tan^2 x\right)^{3/2}}. $$
**第四步：化简** 利用三角恒等式 $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$，有 $$ K = \frac{\sec^2 x}{(\sec^2 x)^{3/2}} = \frac{\sec^2 x}{|\sec^3 x|}. $$ 由于 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$，在定义域内（$\cos x > 0$ 时）$\sec x > 0$，可去掉绝对值： $$ K = \frac{\sec^2 x}{\sec^3 x} = \frac{1}{\sec x} = \cos x. $$
**第五步：曲率半径** 曲率半径为曲率的倒数： $$ R = \frac{1}{K} = \frac{1}{\cos x} = \sec x. $$
**最终结果**： $$ \boxed{K = \cos x,\quad R = \sec x} $$ 其中 $x$ 满足 $\cos x > 0$（即曲线定义域内）。
难度：★★☆☆☆