同济高数 第3章 第3-7-9题
📝 题目
9．设 $R$ 为抛物线 $y=x^{2}$ 上任一点 $M(x, y)$ 处的曲率半径，$s$ 为该曲线上某一点 $M_{0}$ 到点 $M$ 的弧长，证明： $\displaystyle 3 R \frac{\mathrm{~d}^{2} R}{\mathrm{~d} s^{2}}-\left(\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} s}\right)^{2}-9=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**第一步：计算曲率半径公式** 对于曲线 $ y = x^2 $，有 $$ y' = 2x, \quad y'' = 2. $$ 曲率 $ k $ 为 $$ k = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}} = \frac{2}{(1+4x^2)^{3/2}}. $$ 曲率半径 $$ R = \frac{1}{k} = \frac{(1+4x^2)^{3/2}}{2}. $$
**第二步：弧长微分关系** 弧长微分 $$ \mathrm{d}s = \sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{1+4x^2}\,\mathrm{d}x. $$ 因此 $$ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}R/\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s/\mathrm{d}x}. $$ 先求 $$ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}x} = \frac{3}{2}(1+4x^2)^{1/2} \cdot 8x \cdot \frac{1}{2}? $$ 更准确： $$ R = \frac{1}{2}(1+4x^2)^{3/2}, $$ 所以 $$ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}(1+4x^2)^{1/2} \cdot 8x = 6x(1+4x^2)^{1/2}. $$ 而 $$ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x} = \sqrt{1+4x^2}. $$ 于是 $$ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}s} = \frac{6x(1+4x^2)^{1/2}}{\sqrt{1+4x^2}} = 6x. $$
**第三步：求二阶导数** 由 $$ \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}s} = 6x, $$ 则 $$ \frac{\mathrm{d}^2 R}{\mathrm{d}s^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(6x) = 6 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} = \frac{6}{\mathrm{d}s/\mathrm{d}x} = \frac{6}{\sqrt{1+4x^2}}. $$
**第四步：代入验证等式** 左边为 $$ 3R \frac{\mathrm{d}^2 R}{\mathrm{d}s^2} - \left(\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}s}\right)^2 - 9. $$ 代入 $$ 3 \cdot \frac{(1+4x^2)^{3/2}}{2} \cdot \frac{6}{\sqrt{1+4x^2}} - (6x)^2 - 9 $$ 化简第一项： $$ 3 \cdot \frac{(1+4x^2)}{2} \cdot 6 = 9(1+4x^2). $$ 所以原式 $$ = 9(1+4x^2) - 36x^2 - 9 = 9 + 36x^2 - 36x^2 - 9 = 0. $$ 等式成立。
**难度评级**：★★☆☆☆