同济高数 第3章 第3-7-*11题

[AI解答]

[AI解答] 我们需要求抛物线 $ y^2 = 2px $ 的渐屈线方程。渐屈线是曲线的曲率中心轨迹。

**步骤1：参数化曲线** 令参数 $ t $，设 $$ x = \frac{p}{2} t^2, \quad y = p t $$ 验证： $$ y^2 = p^2 t^2 = 2p \cdot \frac{p}{2} t^2 = 2p x $$ 满足方程。

**步骤2：求一阶、二阶导数** $$ x'(t) = p t, \quad y'(t) = p $$ $$ x''(t) = p, \quad y''(t) = 0 $$

**步骤3：曲率半径与曲率中心公式** 曲率半径公式为 $$ R = \frac{\left( (x')^2 + (y')^2 \right)^{3/2}}{|x' y'' - y' x''|} $$ 计算分子： $$ (x')^2 + (y')^2 = (p t)^2 + p^2 = p^2 (t^2 + 1) $$ 所以 $$ \left( (x')^2 + (y')^2 \right)^{3/2} = p^3 (t^2 + 1)^{3/2} $$ 分母： $$ x' y'' - y' x'' = (p t)(0) - (p)(p) = -p^2 $$ 取绝对值： $$ | -p^2 | = p^2 $$ 因此 $$ R = \frac{p^3 (t^2+1)^{3/2}}{p^2} = p (t^2+1)^{3/2} $$

**步骤4：曲率中心坐标公式** 曲率中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ 为 $$ \bar{x} = x - \frac{y' ( (x')^2 + (y')^2 )}{x' y'' - y' x''} $$ $$ \bar{y} = y + \frac{x' ( (x')^2 + (y')^2 )}{x' y'' - y' x''} $$ 代入已知量： $$ (x')^2 + (y')^2 = p^2 (t^2+1) $$ 分母 $ x' y'' - y' x'' = -p^2 $。

先计算 $\bar{x}$： $$ \bar{x} = \frac{p}{2} t^2 - \frac{p \cdot p^2 (t^2+1)}{-p^2} = \frac{p}{2} t^2 - \frac{p^3 (t^2+1)}{-p^2} $$ 化简： $$ \frac{p^3 (t^2+1)}{-p^2} = -p(t^2+1) $$ 减去这个值： $$ \bar{x} = \frac{p}{2} t^2 - \big( -p(t^2+1) \big) = \frac{p}{2} t^2 + p(t^2+1) $$ $$ = \frac{p}{2} t^2 + p t^2 + p = \frac{3p}{2} t^2 + p $$

再计算 $\bar{y}$： $$ \bar{y} = p t + \frac{(p t) \cdot p^2 (t^2+1)}{-p^2} = p t + \frac{p^3 t (t^2+1)}{-p^2} $$ $$ = p t - p t (t^2+1) = p t - p t^3 - p t = -p t^3 $$

**步骤5：消去参数 $t$** 由 $\bar{x} = \frac{3p}{2} t^2 + p$，得 $$ t^2 = \frac{2(\bar{x} - p)}{3p} $$ 而 $\bar{y} = -p t^3$，所以 $$ \bar{y}^2 = p^2 t^6 = p^2 \left( t^2 \right)^3 $$ 代入 $t^2$： $$ \bar{y}^2 = p^2 \left( \frac{2(\bar{x} - p)}{3p} \right)^3 = p^2 \cdot \frac{8 (\bar{x} - p)^3}{27 p^3} = \frac{8 (\bar{x} - p)^3}{27 p} $$ 因此渐屈线方程为 $$ \boxed{27 p y^2 = 8 (x - p)^3} $$ （这里 $x,y$ 表示曲率中心的坐标，即渐屈线的变量。）

难度评级：★★★☆☆ （需要参数化、曲率公式推导及消参，计算量中等，但思路清晰。）