同济高数 第4章 第4-3-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\int} x \sin x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求解不定积分： $$ \int x \sin x \, \mathrm{d}x $$
**步骤1：选择分部积分法** 分部积分公式为： $$ \int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u $$ 令 $$ u = x, \quad \mathrm{d}v = \sin x \, \mathrm{d}x $$
**步骤2：求微分和积分** $$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \quad v = \int \sin x \, \mathrm{d}x = -\cos x $$
**步骤3：代入分部积分公式** $$ \int x \sin x \, \mathrm{d}x = x \cdot (-\cos x) - \int (-\cos x) \, \mathrm{d}x $$ $$ = -x \cos x + \int \cos x \, \mathrm{d}x $$
**步骤4：计算剩余积分** $$ \int \cos x \, \mathrm{d}x = \sin x + C $$
**步骤5：写出最终结果** $$ \int x \sin x \, \mathrm{d}x = -x \cos x + \sin x + C $$
因此，原积分为： $$ \boxed{-x \cos x + \sin x + C} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：选择分部积分法
分部积分公式为 ∫u dv = uv - ∫v du。令 u = x, dv = sin x dx。
公式：∫u dv = uv - ∫v du
提示：选择 u 和 dv 时，通常让 u 为容易求导的函数，dv 为容易积分的函数。
步骤 2/5
目标：求微分和积分
du = dx, v = ∫sin x dx = -cos x。
公式：d(x) = dx, ∫sin x dx = -cos x
提示：注意积分常数在分部积分过程中暂不添加，最后再加。
步骤 3/5
目标：代入分部积分公式
∫x sin x dx = x·(-cos x) - ∫(-cos x) dx = -x cos x + ∫cos x dx。
公式：∫x sin x dx = -x cos x + ∫cos x dx
提示：注意符号变化。
步骤 4/5
目标：计算剩余积分
∫cos x dx = sin x + C。
公式：∫cos x dx = sin x + C
提示：最后加上积分常数 C。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
∫x sin x dx = -x cos x + sin x + C。
提示：结果可验证求导。
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