同济高数 第4章 第4-3-12题

教材习题

📝 题目

12． $\displaystyle{\int} t \mathrm{e}^{-2 t} \mathrm{~d} t$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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我们要求解不定积分： $$ \displaystyle{\int} t \mathrm{e}^{-2 t} \mathrm{~d} t $$

**步骤1：选择分部积分法** 被积函数是 $t$ 与 $\mathrm{e}^{-2t}$ 的乘积，适合分部积分公式： $$ \displaystyle{\int} u \, \mathrm{d}v = uv - \displaystyle{\int} v \, \mathrm{d}u $$

**步骤2：设定 $u$ 和 $\mathrm{d}v$** 令 $$ u = t, \quad \mathrm{d}v = \mathrm{e}^{-2t} \, \mathrm{d}t $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}t, \quad v = \displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-2t} \, \mathrm{d}t = -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2t} $$

**步骤3：代入分部积分公式** $$ \displaystyle{\int} t \mathrm{e}^{-2t} \, \mathrm{d}t = t \cdot \left( -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2t} \right) - \displaystyle{\int} \left( -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2t} \right) \mathrm{d}t $$ 化简得： $$ = -\frac{t}{2} \mathrm{e}^{-2t} + \frac{1}{2} \displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-2t} \, \mathrm{d}t $$

**步骤4：计算剩余积分** $$ \displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-2t} \, \mathrm{d}t = -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2t} $$ 因此： $$ -\frac{t}{2} \mathrm{e}^{-2t} + \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-2t} \right) = -\frac{t}{2} \mathrm{e}^{-2t} - \frac{1}{4} \mathrm{e}^{-2t} $$

**步骤5：加上积分常数** $$ \displaystyle{\int} t \mathrm{e}^{-2 t} \, \mathrm{d}t = -\frac{1}{2} t \mathrm{e}^{-2t} - \frac{1}{4} \mathrm{e}^{-2t} + C $$

最终结果为： $$ \boxed{-\frac{1}{2} t \mathrm{e}^{-2t} - \frac{1}{4} \mathrm{e}^{-2t} + C} $$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：选择分部积分法
被积函数是 t 与 e^{-2t} 的乘积，适合分部积分公式 ∫ u dv = uv - ∫ v du。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：当被积函数为多项式与指数函数的乘积时，通常设多项式为 u。
步骤 2/5
目标：设定 u 和 dv
令 u = t, dv = e^{-2t} dt，则 du = dt, v = ∫ e^{-2t} dt = -1/2 e^{-2t}。
公式：v = ∫ e^{-2t} dt = -1/2 e^{-2t}
提示：计算 v 时注意积分常数可省略，因为后续会加。
步骤 3/5
目标：代入分部积分公式
∫ t e^{-2t} dt = t * (-1/2 e^{-2t}) - ∫ (-1/2 e^{-2t}) dt = -t/2 e^{-2t} + 1/2 ∫ e^{-2t} dt。
公式：∫ t e^{-2t} dt = -t/2 e^{-2t} + 1/2 ∫ e^{-2t} dt
提示：注意符号变化，负负得正。
步骤 4/5
目标：计算剩余积分
∫ e^{-2t} dt = -1/2 e^{-2t}，代入得 -t/2 e^{-2t} + 1/2 * (-1/2 e^{-2t}) = -t/2 e^{-2t} - 1/4 e^{-2t}。
公式：∫ e^{-2t} dt = -1/2 e^{-2t}
提示：指数函数的积分公式：∫ e^{ax} dx = (1/a) e^{ax} + C。
步骤 5/5
目标：加上积分常数
最终结果为 -1/2 t e^{-2t} - 1/4 e^{-2t} + C。
提示：不定积分必须加常数 C。

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