同济高数 第4章 第4-3-19题

[AI解答]

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本题要求计算不定积分： $$ \int e^{\sqrt[3]{x}} \, dx $$

**步骤1：变量代换** 令 $$ t = \sqrt[3]{x} \quad \Rightarrow \quad x = t^3 $$ 则 $$ dx = 3t^2 \, dt $$

**步骤2：代入积分** 原积分化为： $$ \int e^{t} \cdot 3t^2 \, dt = 3 \int t^2 e^{t} \, dt $$

**步骤3：分部积分** 对 $\int t^2 e^{t} dt$ 使用分部积分法。 设 $$ u = t^2, \quad dv = e^{t} dt $$ 则 $$ du = 2t \, dt, \quad v = e^{t} $$ 于是 $$ \int t^2 e^{t} dt = t^2 e^{t} - \int 2t e^{t} dt = t^2 e^{t} - 2 \int t e^{t} dt $$

**步骤4：再次分部积分** 对 $\int t e^{t} dt$ 再次分部积分： 设 $$ u = t, \quad dv = e^{t} dt $$ 则 $$ du = dt, \quad v = e^{t} $$ 于是 $$ \int t e^{t} dt = t e^{t} - \int e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + C_1 $$

**步骤5：回代结果** 代入上一步： $$ \int t^2 e^{t} dt = t^2 e^{t} - 2\left( t e^{t} - e^{t} \right) + C = t^2 e^{t} - 2t e^{t} + 2e^{t} + C $$

**步骤6：乘以系数并回代变量** 原积分： $$ 3 \int t^2 e^{t} dt = 3\left( t^2 e^{t} - 2t e^{t} + 2e^{t} \right) + C $$ 将 $t = \sqrt[3]{x}$ 代回： $$ = 3 e^{\sqrt[3]{x}} \left( (\sqrt[3]{x})^2 - 2\sqrt[3]{x} + 2 \right) + C $$ 即： $$ \boxed{3 e^{\sqrt[3]{x}} \left( x^{2/3} - 2 x^{1/3} + 2 \right) + C} $$

难度：★★☆☆☆ （主要考察换元法与分部积分法的基本应用，计算量适中，思路直接）