同济高数 第4章 第4-3-20题
📝 题目
20． $\displaystyle{\int} \cos \ln x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求不定积分 $$ \int \cos(\ln x) \, dx. $$ 令 $ t = \ln x $，则 $ x = e^t $，且 $ dx = e^t \, dt $。 于是原积分化为 $$ \int \cos t \cdot e^t \, dt. $$ 这是一个典型的指数函数与三角函数的乘积积分，使用分部积分法。 设 $$ I = \int e^t \cos t \, dt. $$ 令 $$ u = \cos t, \quad dv = e^t dt, $$ 则 $$ du = -\sin t \, dt, \quad v = e^t. $$ 分部积分得 $$ I = e^t \cos t - \int e^t (-\sin t) \, dt = e^t \cos t + \int e^t \sin t \, dt. $$ 对 $\int e^t \sin t \, dt$ 再次分部积分： 令 $$ u = \sin t, \quad dv = e^t dt, $$ 则 $$ du = \cos t \, dt, \quad v = e^t. $$ 于是 $$ \int e^t \sin t \, dt = e^t \sin t - \int e^t \cos t \, dt = e^t \sin t - I. $$ 代入上式： $$ I = e^t \cos t + \left( e^t \sin t - I \right). $$ 因此 $$ I = e^t \cos t + e^t \sin t - I, $$ $$ 2I = e^t (\cos t + \sin t), $$ $$ I = \frac{e^t}{2} (\cos t + \sin t) + C. $$ 将 $ t = \ln x $ 代回，得 $$ \int \cos(\ln x) \, dx = \frac{x}{2} \bigl( \cos(\ln x) + \sin(\ln x) \bigr) + C. $$
难度：★★☆☆☆