同济高数 第4章 第4-4-11题

[AI解答]

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我们要求不定积分： $$ \int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+x+1)}. $$

**第一步：有理函数分解** 被积函数的分母是两个二次因式的乘积，且它们没有公因式，因此可设： $$ \frac{1}{(x^2+1)(x^2+x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+x+1}. $$ 两边乘以分母得： $$ 1 = (Ax+B)(x^2+x+1) + (Cx+D)(x^2+1). $$

**第二步：展开并比较系数** 展开： $$ (Ax+B)(x^2+x+1) = A x^3 + A x^2 + A x + B x^2 + B x + B = A x^3 + (A+B)x^2 + (A+B)x + B, $$ $$ (Cx+D)(x^2+1) = C x^3 + C x + D x^2 + D = C x^3 + D x^2 + C x + D. $$ 相加得： $$ 1 = (A+C)x^3 + (A+B+D)x^2 + (A+B+C)x + (B+D). $$

比较系数： $$ \begin{cases} x^3: & A+C = 0, \\ x^2: & A+B+D = 0, \\ x^1: & A+B+C = 0, \\ x^0: & B+D = 1. \end{cases} $$

由第一个方程得 $C = -A$。 代入第三个方程：$A+B - A = B = 0$，所以 $B=0$。 由第四个方程：$0 + D = 1$，得 $D=1$。 再由第二个方程：$A+0+1=0$，得 $A = -1$，从而 $C = 1$。

因此： $$ \frac{1}{(x^2+1)(x^2+x+1)} = \frac{-x}{x^2+1} + \frac{x+1}{x^2+x+1}. $$

**第三步：分别积分** 原积分化为： $$ \int \frac{-x}{x^2+1} \, dx + \int \frac{x+1}{x^2+x+1} \, dx. $$

第一个积分： $$ \int \frac{-x}{x^2+1} dx = -\frac12 \int \frac{2x}{x^2+1} dx = -\frac12 \ln(x^2+1). $$

第二个积分：将分母配方： $$ x^2+x+1 = \left(x+\frac12\right)^2 + \frac34. $$ 分子拆开： $$ \frac{x+1}{x^2+x+1} = \frac{x+\frac12}{x^2+x+1} + \frac{\frac12}{x^2+x+1}. $$

第一部分的积分： $$ \int \frac{x+\frac12}{x^2+x+1} dx = \frac12 \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx = \frac12 \ln(x^2+x+1). $$

第二部分的积分： $$ \int \frac{\frac12}{x^2+x+1} dx = \frac12 \int \frac{dx}{\left(x+\frac12\right)^2 + \frac34} = \frac12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3/4}} \arctan\left( \frac{x+\frac12}{\sqrt{3/4}} \right) = \frac12 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right). $$

**第四步：合并结果** 因此： $$ \int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+x+1)} = -\frac12 \ln(x^2+1) + \frac12 \ln(x^2+x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) + C. $$

也可以写成： $$ \boxed{\frac12 \ln\left( \frac{x^2+x+1}{x^2+1} \right) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x+1}{\sqrt{3}} \right) + C}. $$

难度：★★☆☆☆