同济高数 第4章 第4-4-15题
📝 题目
15． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{3+\cos x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分 $$ \int \frac{dx}{3+\cos x}. $$ 这是一个典型的有理三角函数积分，常用万能代换 $ t = \tan\frac{x}{2} $ 来处理。
**步骤1：万能代换** 令 $$ t = \tan\frac{x}{2}, \quad 则 \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2}\, dt. $$
**步骤2：代入积分** 原积分变为 $$ \int \frac{1}{3+\frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2}\, dt = \int \frac{2}{3(1+t^2) + (1-t^2)} \, dt. $$
**步骤3：化简分母** 分母计算： $$ 3(1+t^2) + (1-t^2) = 3 + 3t^2 + 1 - t^2 = 4 + 2t^2 = 2(2 + t^2). $$ 因此积分化为 $$ \int \frac{2}{2(2+t^2)}\, dt = \int \frac{1}{2+t^2}\, dt. $$
**步骤4：积分计算** 这是一个标准积分： $$ \int \frac{1}{2+t^2}\, dt = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\frac{t}{\sqrt{2}} + C. $$
**步骤5：回代变量** 将 $ t = \tan\frac{x}{2} $ 代回，得到 $$ \int \frac{dx}{3+\cos x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left( \frac{\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{2}} \right) + C. $$
因此最终结果为 $$ \boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left( \frac{\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{2}} \right) + C}. $$
难度评级：★★☆☆☆ （属于常见万能代换题型，计算步骤清晰，但需要熟悉三角有理积分技巧。）