同济高数 第4章 第4-4-17题
📝 题目
17． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x+\cos x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x}. $$
**步骤1：使用万能代换** 令 $$ t = \tan\frac{x}{2}, $$ 则 $$ \sin x = \frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt. $$
**步骤2：代入被积函数** 分母为： $$ 1 + \sin x + \cos x = 1 + \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = \frac{(1+t^2) + 2t + (1-t^2)}{1+t^2} = \frac{2 + 2t}{1+t^2}. $$ 因此 $$ \frac{1}{1+\sin x+\cos x} = \frac{1+t^2}{2(1+t)}. $$
**步骤3：写出积分** $$ \int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x} = \int \frac{1+t^2}{2(1+t)} \cdot \frac{2}{1+t^2}\,dt = \int \frac{1}{1+t}\,dt. $$
**步骤4：积分并回代** $$ \int \frac{1}{1+t}\,dt = \ln|1+t| + C. $$ 将 $ t = \tan\frac{x}{2} $ 代回： $$ \boxed{\ln\left|1+\tan\frac{x}{2}\right| + C}. $$
难度评级：★★☆☆☆ （涉及万能代换，计算量较小，但需熟悉三角恒等变形）