同济高数 第4章 第4-4-20题

[AI解答]

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首先，注意到 $(\sqrt{x})^3 = x^{3/2}$，因此被积函数为： $$ \frac{x^{3/2} - 1}{\sqrt{x} + 1} $$

为了化简，令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$\mathrm{d}x = 2t\,\mathrm{d}t$。代入积分： $$ \int \frac{t^3 - 1}{t + 1} \cdot 2t \, \mathrm{d}t $$

分子 $t^3 - 1$ 可用立方差公式分解： $$ t^3 - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1) $$ 因此： $$ \frac{t^3 - 1}{t + 1} = \frac{(t - 1)(t^2 + t + 1)}{t + 1} $$ 这里不能直接约分，因为分子分母没有公因式 $t+1$。我们改用多项式除法： $t^3 - 1$ 除以 $t+1$： $$ t^3 - 1 = (t+1)(t^2 - t + 1) - 2 $$ 所以： $$ \frac{t^3 - 1}{t+1} = t^2 - t + 1 - \frac{2}{t+1} $$

于是积分变为： $$ \int \left( t^2 - t + 1 - \frac{2}{t+1} \right) \cdot 2t \, \mathrm{d}t = 2\int \left( t^3 - t^2 + t - \frac{2t}{t+1} \right) \mathrm{d}t $$

再处理 $\frac{2t}{t+1}$： $$ \frac{2t}{t+1} = 2 - \frac{2}{t+1} $$ 因此： $$ t^3 - t^2 + t - \frac{2t}{t+1} = t^3 - t^2 + t - \left(2 - \frac{2}{t+1}\right) = t^3 - t^2 + t - 2 + \frac{2}{t+1} $$

所以积分化为： $$ 2\int \left( t^3 - t^2 + t - 2 + \frac{2}{t+1} \right) \mathrm{d}t $$

逐项积分： $$ 2\left( \frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} - 2t + 2\ln|t+1| \right) + C $$ 化简系数： $$ \frac{t^4}{2} - \frac{2t^3}{3} + t^2 - 4t + 4\ln|t+1| + C $$

最后代回 $t = \sqrt{x}$： $$ \boxed{\frac{x^{2}}{2} - \frac{2x^{3/2}}{3} + x - 4\sqrt{x} + 4\ln(\sqrt{x}+1) + C} $$

难度：★★☆☆☆