同济高数 第4章 第4-4-5题

教材习题

📝 题目

5． $\displaystyle{\int} \frac{3}{x^{3}+1} \mathrm{~d} x$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

我们要求解不定积分： $$ \int \frac{3}{x^3+1} \, dx $$

**第一步：因式分解分母** 利用立方和公式： $$ x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1) $$ 因此被积函数可写为： $$ \frac{3}{x^3+1} = \frac{3}{(x+1)(x^2 - x + 1)} $$

**第二步：部分分式分解** 设： $$ \frac{3}{(x+1)(x^2 - x + 1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1} $$ 两边乘以分母得： $$ 3 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x+1) $$ 展开： $$ 3 = A x^2 - A x + A + B x^2 + B x + C x + C $$ 合并同类项： $$ 3 = (A + B) x^2 + (-A + B + C)x + (A + C) $$ 比较系数得方程组： $$ \begin{cases} A + B = 0 \\ -A + B + C = 0 \\ A + C = 3 \end{cases} $$ 由第一式得 $B = -A$，代入第二式： $$ -A - A + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = 2A $$ 代入第三式： $$ A + 2A = 3 \quad\Rightarrow\quad 3A = 3 \quad\Rightarrow\quad A = 1 $$ 于是： $$ B = -1,\quad C = 2 $$ 所以： $$ \frac{3}{x^3+1} = \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2 - x + 1} $$

**第三步：分别积分** 原积分化为： $$ \int \frac{3}{x^3+1} \, dx = \int \frac{1}{x+1} \, dx + \int \frac{-x+2}{x^2 - x + 1} \, dx $$

第一部分： $$ \int \frac{1}{x+1} \, dx = \ln|x+1| + C_1 $$

第二部分处理： 对分母 $x^2 - x + 1$ 配方： $$ x^2 - x + 1 = \left(x - \frac12\right)^2 + \frac34 $$ 将分子 $-x+2$ 改写为： $$ -x+2 = -\left(x - \frac12\right) + \frac32 $$ 于是： $$ \int \frac{-x+2}{x^2 - x + 1} \, dx = -\int \frac{x - \frac12}{x^2 - x + 1} \, dx + \frac32 \int \frac{1}{\left(x - \frac12\right)^2 + \frac34} \, dx $$

第一个积分：令 $u = x^2 - x + 1$，则 $du = (2x - 1)dx = 2(x - \frac12)dx$，所以： $$ \int \frac{x - \frac12}{x^2 - x + 1} \, dx = \frac12 \int \frac{du}{u} = \frac12 \ln|x^2 - x + 1| $$

第二个积分：令 $t = x - \frac12$，则： $$ \int \frac{1}{t^2 + \frac34} \, dt = \frac{1}{\sqrt{3/4}} \arctan\left( \frac{t}{\sqrt{3/4}} \right) = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2t}{\sqrt{3}} \right) $$ 代回 $t = x - \frac12$： $$ \frac32 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) = \sqrt{3} \arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) $$

**第四步：合并结果** 因此： $$ \int \frac{3}{x^3+1} \, dx = \ln|x+1| - \frac12 \ln|x^2 - x + 1| + \sqrt{3} \arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) + C $$

最终答案为： $$ \boxed{\displaystyle \ln|x+1| - \frac12 \ln(x^2 - x + 1) + \sqrt{3} \arctan\left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) + C} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：因式分解分母
利用立方和公式：x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)，将被积函数写为 3/[(x+1)(x^2 - x + 1)]。
公式：a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
提示：注意立方和公式的符号，a^2 - ab + b^2 中间是减号。
步骤 2/7
目标：部分分式分解
设 3/[(x+1)(x^2 - x + 1)] = A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2 - x + 1)，通分后比较分子系数，解得 A=1, B=-1, C=2。
公式：部分分式分解原理
提示：设分子为 Bx+C 因为分母是二次不可约因式。
步骤 3/7
目标：分别积分第一部分
∫ 1/(x+1) dx = ln|x+1| + C1。
公式：∫ 1/(x+a) dx = ln|x+a| + C
提示：注意绝对值。
步骤 4/7
目标：处理第二部分积分
将分子 -x+2 改写为 -(x-1/2) + 3/2，分母配方为 (x-1/2)^2 + 3/4，然后拆分为两个积分：-∫ (x-1/2)/(x^2-x+1) dx + (3/2)∫ 1/[(x-1/2)^2+3/4] dx。
公式：配方法：x^2 - x + 1 = (x-1/2)^2 + 3/4
提示：分子改写时注意常数调整。
步骤 5/7
目标：计算第一个拆分积分
令 u = x^2 - x + 1，则 du = (2x-1)dx = 2(x-1/2)dx，所以 ∫ (x-1/2)/(x^2-x+1) dx = (1/2)∫ du/u = (1/2) ln|x^2-x+1|。
公式：换元积分法
提示：注意 du 与分子的关系。
步骤 6/7
目标：计算第二个拆分积分
令 t = x-1/2，则 ∫ 1/(t^2 + 3/4) dt = (2/√3) arctan(2t/√3)，乘以 3/2 得 √3 arctan((2x-1)/√3)。
公式：∫ 1/(t^2 + a^2) dt = (1/a) arctan(t/a) + C
提示：a^2 = 3/4，所以 a = √3/2。
步骤 7/7
目标：合并结果
将各部分积分相加：ln|x+1| - (1/2) ln|x^2-x+1| + √3 arctan((2x-1)/√3) + C。
提示：常数 C 为任意常数。

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