同济高数 第4章 第4-5-11题
📝 题目
11． $\displaystyle{\int} \sin 3 x \sin 5 x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们需要计算不定积分： $$ \int \sin 3x \sin 5x \, \mathrm{d}x $$
**步骤1：利用积化和差公式** 由三角恒等式： $$ \sin A \sin B = \frac{1}{2} \left[ \cos(A - B) - \cos(A + B) \right] $$ 令 $A = 3x$，$B = 5x$，则： $$ \sin 3x \sin 5x = \frac{1}{2} \left[ \cos(3x - 5x) - \cos(3x + 5x) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos(-2x) - \cos(8x) \right] $$ 由于 $\cos(-\theta) = \cos\theta$，所以： $$ \sin 3x \sin 5x = \frac{1}{2} \left[ \cos 2x - \cos 8x \right] $$
**步骤2：代入积分** 原积分变为： $$ \int \sin 3x \sin 5x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int (\cos 2x - \cos 8x) \, \mathrm{d}x $$
**步骤3：分别积分** $$ \int \cos 2x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \sin 2x + C_1 $$ $$ \int \cos 8x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{8} \sin 8x + C_2 $$ 因此： $$ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{8} \sin 8x \right) + C = \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{16} \sin 8x + C $$
**最终结果：** $$ \boxed{\displaystyle \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{16} \sin 8x + C} $$
难度：★☆☆☆☆