同济高数 第4章 第4-5-17题

[AI解答]

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我们要求解不定积分： $$ \displaystyle{\int} \frac{x}{(2+3x)^2} \, \mathrm{d}x. $$

**步骤1：变量代换** 令 $ t = 2 + 3x $，则 $$ x = \frac{t-2}{3}, \quad \mathrm{d}x = \frac{1}{3} \mathrm{d}t. $$

**步骤2：代入积分** 原积分变为： $$ \displaystyle{\int} \frac{\frac{t-2}{3}}{t^2} \cdot \frac{1}{3} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{9} \displaystyle{\int} \frac{t-2}{t^2} \, \mathrm{d}t. $$

**步骤3：拆分被积函数** $$ \frac{t-2}{t^2} = \frac{1}{t} - \frac{2}{t^2}. $$ 于是： $$ \frac{1}{9} \displaystyle{\int} \left( \frac{1}{t} - \frac{2}{t^2} \right) \mathrm{d}t = \frac{1}{9} \left( \displaystyle{\int} \frac{1}{t} \, \mathrm{d}t - 2 \displaystyle{\int} t^{-2} \, \mathrm{d}t \right). $$

**步骤4：积分计算** $$ \displaystyle{\int} \frac{1}{t} \, \mathrm{d}t = \ln|t|, \quad \displaystyle{\int} t^{-2} \, \mathrm{d}t = -t^{-1}. $$ 因此： $$ \frac{1}{9} \left( \ln|t| - 2(-t^{-1}) \right) + C = \frac{1}{9} \left( \ln|t| + \frac{2}{t} \right) + C. $$

**步骤5：回代变量** 将 $ t = 2 + 3x $ 代回： $$ \frac{1}{9} \left( \ln|2+3x| + \frac{2}{2+3x} \right) + C. $$

因此结果为： $$ \boxed{\displaystyle \frac{1}{9} \ln|2+3x| + \frac{2}{9(2+3x)} + C}. $$

难度：★☆☆☆☆