同济高数 第4章 第4-5-22题

[AI解答]

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我们要求解不定积分： $$ \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx $$

**步骤1：化简被积函数** 注意到 $$ \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{1-x}{1-x}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} $$ 因此原积分变为： $$ \int \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx $$

**步骤2：拆分积分** 将分子拆开： $$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx $$

**步骤3：分别积分** 第一项是标准公式： $$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C_1 $$

第二项用换元法，令 $u = 1 - x^2$，则 $du = -2x\,dx$，即 $x\,dx = -\frac{1}{2} du$，于是： $$ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac12} du = -\sqrt{u} + C_2 = -\sqrt{1-x^2} + C_2 $$

**步骤4：合并结果** 因此原积分为： $$ \arcsin x - (-\sqrt{1-x^2}) + C = \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C $$

**最终答案：** $$ \boxed{\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C} $$

难度：★★☆☆☆ （主要用到代数变形与基本积分公式，计算量小，但需要观察化简技巧）