同济高数 第4章 第4-5-25题
📝 题目
25． $\displaystyle{\int} \frac{x^{4}}{25+4 x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求不定积分： $$ \int \frac{x^{4}}{25+4x^{2}} \, \mathrm{d}x $$
**第一步：多项式除法** 被积函数中分子次数高于分母，先做多项式除法。 分母 $4x^2+25$，分子 $x^4$。 将 $x^4$ 除以 $4x^2$ 得 $\frac{1}{4}x^2$，乘回分母： $$ \frac{1}{4}x^2(4x^2+25) = x^4 + \frac{25}{4}x^2 $$ 用分子减去： $$ x^4 - \left(x^4 + \frac{25}{4}x^2\right) = -\frac{25}{4}x^2 $$ 所以第一步商为 $\frac{1}{4}x^2$，余项 $-\frac{25}{4}x^2$。 继续用余项除以分母： $-\frac{25}{4}x^2$ 除以 $4x^2$ 得 $-\frac{25}{16}$，乘回分母： $$ -\frac{25}{16}(4x^2+25) = -\frac{25}{4}x^2 - \frac{625}{16} $$ 减去得： $$ -\frac{25}{4}x^2 - \left( -\frac{25}{4}x^2 - \frac{625}{16} \right) = \frac{625}{16} $$ 因此： $$ \frac{x^4}{4x^2+25} = \frac{1}{4}x^2 - \frac{25}{16} + \frac{625}{16(4x^2+25)} $$
**第二步：分项积分** 于是原积分为： $$ \int \left( \frac{1}{4}x^2 - \frac{25}{16} + \frac{625}{16(4x^2+25)} \right) \mathrm{d}x $$ 分别积分： $$ \int \frac{1}{4}x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{1}{12}x^3 $$ $$ \int -\frac{25}{16} \, \mathrm{d}x = -\frac{25}{16}x $$ 第三项： $$ \int \frac{625}{16(4x^2+25)} \, \mathrm{d}x = \frac{625}{16} \int \frac{1}{4x^2+25} \, \mathrm{d}x $$ 将分母写成标准形式： $$ 4x^2+25 = 4\left(x^2 + \frac{25}{4}\right) = 4\left(x^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2\right) $$ 所以： $$ \int \frac{1}{4x^2+25} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^2 + (5/2)^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} \arctan\left(\frac{2x}{5}\right) = \frac{1}{10} \arctan\left(\frac{2x}{5}\right) $$ 因此第三项为： $$ \frac{625}{16} \cdot \frac{1}{10} \arctan\left(\frac{2x}{5}\right) = \frac{625}{160} \arctan\left(\frac{2x}{5}\right) = \frac{125}{32} \arctan\left(\frac{2x}{5}\right) $$
**第三步：合并结果** 所以原积分为： $$ \int \frac{x^4}{25+4x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{12}x^3 - \frac{25}{16}x + \frac{125}{32} \arctan\left(\frac{2x}{5}\right) + C $$
难度评级：★★☆☆☆ （涉及多项式除法与简单有理分式积分，步骤清晰但需细心处理系数）