同济高数 第5章 第5-1-11题

教材习题

📝 题目

11．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x \geqslant\left[\displaystyle{\int}_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right]^{2}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

我们已知函数 $ f(x) $ 在区间 $[0,1]$ 上连续，要证明： $$ \int_{0}^{1} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x \geqslant \left( \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right)^{2}. $$

**证明步骤：**

1. 考虑辅助函数或利用柯西-施瓦茨不等式（Cauchy–Schwarz inequality）在积分形式下的结论： 对于区间 $[0,1]$ 上的连续函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $，有 $$ \left( \int_{0}^{1} f(x) g(x) \, \mathrm{d}x \right)^{2} \leq \left( \int_{0}^{1} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x \right) \left( \int_{0}^{1} g^{2}(x) \, \mathrm{d}x \right). $$

2. 取 $ g(x) = 1 $（常数函数），则 $$ \int_{0}^{1} g^{2}(x) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} 1 \, \mathrm{d}x = 1. $$

3. 代入柯西-施瓦茨不等式： $$ \left( \int_{0}^{1} f(x) \cdot 1 \, \mathrm{d}x \right)^{2} \leq \left( \int_{0}^{1} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x \right) \cdot 1. $$

4. 即 $$ \left( \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right)^{2} \leq \int_{0}^{1} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x. $$

5. 移项即得所需不等式： $$ \int_{0}^{1} f^{2}(x) \, \mathrm{d}x \geqslant \left( \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right)^{2}. $$

等号成立当且仅当 $ f(x) $ 为常数函数（由柯西-施瓦茨等号条件可得）。

因此原命题得证。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：应用柯西-施瓦茨不等式
考虑柯西-施瓦茨不等式在积分形式下的结论：对于区间[0,1]上的连续函数f(x)和g(x)，有(∫ f g)^2 ≤ (∫ f^2)(∫ g^2)。
公式：(∫_0^1 f(x)g(x)dx)^2 ≤ (∫_0^1 f^2(x)dx)(∫_0^1 g^2(x)dx)
提示：柯西-施瓦茨不等式是证明积分不等式的重要工具。
步骤 2/4
目标：选取合适的函数g(x)
取g(x)=1（常数函数），则∫_0^1 g^2(x)dx = ∫_0^1 1 dx = 1。
公式：∫_0^1 1 dx = 1
提示：常数函数是常用的辅助函数。
步骤 3/4
目标：代入不等式
将g(x)=1代入柯西-施瓦茨不等式，得到(∫_0^1 f(x)·1 dx)^2 ≤ (∫_0^1 f^2(x)dx)·1。
公式：(∫_0^1 f(x)dx)^2 ≤ ∫_0^1 f^2(x)dx
提示：注意左边是f(x)积分的平方。
步骤 4/4
目标：整理得到结论
移项即得∫_0^1 f^2(x)dx ≥ (∫_0^1 f(x)dx)^2。等号成立当且仅当f(x)为常数函数。
公式：∫_0^1 f^2(x)dx ≥ (∫_0^1 f(x)dx)^2
提示：等号条件由柯西-施瓦茨等号条件得出。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第5-1-10题 返回列表 第5-1-12题 →