同济高数 第5章 第5-1-3题

[AI解答]

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**（1）** 证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} 2x \, \mathrm{d}x = 1$。

定积分 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} 2x \, \mathrm{d}x$ 的几何意义是曲线 $y = 2x$ 在区间 $[0,1]$ 上与 $x$ 轴围成的图形面积。 该图形是一个直角三角形，底边长为 $1$，高为 $2 \times 1 = 2$，面积为 $$ \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1. $$ 因此等式成立。

**（2）** 证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4}$。

函数 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 表示圆心在原点、半径为 $1$ 的上半圆。 在区间 $[0,1]$ 上，该曲线与 $x$ 轴围成的图形是半径为 $1$ 的圆在第一象限的部分，即四分之一圆面积。 圆的面积为 $\pi \cdot 1^{2} = \pi$，故四分之一圆面积为 $\dfrac{\pi}{4}$。 因此等式成立。

**（3）** 证明 $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin x \, \mathrm{d}x = 0$。

函数 $y = \sin x$ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上是奇函数，即 $\sin(-x) = -\sin x$。 由定积分的几何意义，在对称区间上，曲线在 $x$ 轴上方和下方的面积大小相等、符号相反，总和为零。 因此该积分为 $0$。

**（4）** 证明 $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, \mathrm{d}x = 2 \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, \mathrm{d}x$。

函数 $y = \cos x$ 在区间 $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 上是偶函数，即 $\cos(-x) = \cos x$。 由定积分的几何意义，偶函数在对称区间上的积分等于两倍在正半区间上的积分： $$ \int_{-a}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, \mathrm{d}x. $$ 取 $a = \dfrac{\pi}{2}$，即得证。

难度：★☆☆☆☆