同济高数 第5章 第5-1-6题

[AI解答]

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**步骤1：理解定积分的几何意义** 定积分 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x$ 在几何上表示曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴、直线 $x = a$、$x = b$ 所围成的曲边梯形的面积（当 $f(x) \geq 0$ 时）。

**步骤2：分析第一个积分** 考虑 $\displaystyle{\int}_{1}^{e} \ln x \, \mathrm{d}x$。 函数 $y = \ln x$ 在区间 $[1, e]$ 上非负，且 $\ln 1 = 0$，$\ln e = 1$。 该积分表示曲线 $y = \ln x$ 下方，从 $x = 1$ 到 $x = e$ 的面积。

**步骤3：分析第二个积分** 考虑 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} e^{x} \, \mathrm{d}x$。 函数 $y = e^{x}$ 在区间 $[0, 1]$ 上非负，且 $e^{0} = 1$，$e^{1} = e$。 该积分表示曲线 $y = e^{x}$ 下方，从 $x = 0$ 到 $x = 1$ 的面积。

**步骤4：利用反函数关系构造几何对称性** 注意到 $y = \ln x$ 与 $y = e^{x}$ 互为反函数，且图像关于直线 $y = x$ 对称。 在区间 $[1, e]$ 上，曲线 $y = \ln x$ 下方的面积，与在区间 $[0, 1]$ 上曲线 $y = e^{x}$ 左侧的面积（即 $x$ 从 $0$ 到 $1$，$y$ 从 $e^{x}$ 到 $e$ 的部分）之和，恰好等于一个矩形面积。

**步骤5：构造矩形面积** 考虑以 $x$ 从 $0$ 到 $e$，$y$ 从 $0$ 到 $1$ 的矩形？更精确地： 观察点 $(1,0)$、$(e,0)$、$(e,1)$、$(1,1)$ 构成一个矩形，其宽为 $e-1$，高为 $1$，面积为 $e-1$。 但这里需要更直接的几何拼合：

实际上，曲线 $y = \ln x$ 与 $y = e^{x}$ 的对称性表明： $$ \displaystyle{\int}_{1}^{e} \ln x \, \mathrm{d}x + \displaystyle{\int}_{0}^{1} e^{x} \, \mathrm{d}x $$ 等于以 $x=0$、$x=e$、$y=0$、$y=1$ 为边界的矩形面积，即 $e \times 1 = e$。

**步骤6：验证矩形边界** - 第一个积分覆盖区域：$1 \leq x \leq e$，$0 \leq y \leq \ln x$。 - 第二个积分覆盖区域：$0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq e^{x}$。 这两个区域互不相交，且它们的并集正好填满矩形 $[0, e] \times [0, 1]$。 因为对于任意 $y \in [0,1]$，对应 $x$ 要么在 $[0,1]$ 上由 $x = \ln y$（反函数）给出，要么在 $[1,e]$ 上由 $x = e^{y}$ 给出，但更直观的是： 矩形中任意一点 $(x, y)$，若 $x \leq 1$，则它属于第二个积分区域当且仅当 $y \leq e^{x}$；若 $x \geq 1$，则它属于第一个积分区域当且仅当 $y \leq \ln x$。由于 $y = \ln x$ 与 $x = e^{y}$ 等价，这两个条件恰好覆盖整个矩形。

**步骤7：结论** 因此，两个积分之和等于矩形面积 $e \times 1 = e$，即 $$ \displaystyle{\int}_{1}^{e} \ln x \, \mathrm{d}x + \displaystyle{\int}_{0}^{1} e^{x} \, \mathrm{d}x = e. $$

难度：★★☆☆☆