同济高数 第5章 第5-1-*2题

教材习题

📝 题目

＊2．利用定积分的定义计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{a}^{b} x \mathrm{~d} x(a\lt b)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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**（1）** 计算 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} x \mathrm{~d} x \quad (a

**步骤1：分割区间** 将区间 $[a, b]$ 等分为 $n$ 个小区间，每个小区间长度为 $$ \Delta x = \frac{b-a}{n} $$ 分点为 $$ x_i = a + i\Delta x,\quad i=0,1,2,\dots,n $$

**步骤2：取右端点作积分和** 取每个小区间的右端点 $x_i = a + i\Delta x$，作黎曼和 $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} (a + i\Delta x) \Delta x $$ 代入 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$，得 $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( a + i\cdot\frac{b-a}{n} \right) \cdot \frac{b-a}{n} = \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} a + \frac{(b-a)^2}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i $$

**步骤3：求和** $$ \sum_{i=1}^{n} a = n a,\quad \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} $$ 所以 $$ S_n = \frac{b-a}{n} \cdot n a + \frac{(b-a)^2}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} \cdot \frac{n+1}{n} $$

**步骤4：取极限** $$ \int_a^b x \, dx = \lim_{n\to\infty} S_n = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} $$ 由于 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1}$，得 $$ \int_a^b x \, dx = a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{2} = \frac{2a(b-a) + (b-a)^2}{2} = \frac{(b-a)(2a + b-a)}{2} = \frac{(b-a)(a+b)}{2} $$ 即 $$ \boxed{\displaystyle{\int_{a}^{b} x \, dx = \frac{b^2 - a^2}{2}}} $$

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**（2）** 计算 $\displaystyle{\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x}$

**步骤1：分割区间** 将 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个小区间， $$ \Delta x = \frac{1}{n},\quad x_i = \frac{i}{n},\ i=0,1,\dots,n $$

**步骤2：取右端点作积分和** 取右端点 $x_i = \frac{i}{n}$，则 $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \mathrm{e}^{i/n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathrm{e}^{i/n} $$ 这是一个等比数列求和：首项 $\mathrm{e}^{1/n}$，公比 $\mathrm{e}^{1/n}$，项数 $n$， $$ \sum_{i=1}^{n} \mathrm{e}^{i/n} = \frac{\mathrm{e}^{1/n} \left(1 - \mathrm{e}^{n/n}\right)}{1 - \mathrm{e}^{1/n}} = \frac{\mathrm{e}^{1/n} (1 - \mathrm{e})}{1 - \mathrm{e}^{1/n}} $$ 所以 $$ S_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{\mathrm{e}^{1/n} (1 - \mathrm{e})}{1 - \mathrm{e}^{1/n}} $$

**步骤3：取极限** $$ \int_0^1 \mathrm{e}^x \, dx = \lim_{n\to\infty} S_n = (1-\mathrm{e}) \lim_{n\to\infty} \frac{\mathrm{e}^{1/n}}{n(1 - \mathrm{e}^{1/n})} $$ 令 $t = \frac{1}{n}$，则当 $n\to\infty$ 时 $t\to 0$， $$ \lim_{n\to\infty} \frac{\mathrm{e}^{1/n}}{n(1 - \mathrm{e}^{1/n})} = \lim_{t\to 0} \frac{t\,\mathrm{e}^{t}}{1 - \mathrm{e}^{t}} $$ 利用等价无穷小：当 $t\to 0$ 时，$1 - \mathrm{e}^{t} \sim -t$，所以 $$ \lim_{t\to 0} \frac{t\,\mathrm{e}^{t}}{1 - \mathrm{e}^{t}} = \lim_{t\to 0} \frac{t\,\mathrm{e}^{t}}{-t} = -1 $$ 因此 $$ \int_0^1 \mathrm{e}^x \, dx = (1-\mathrm{e}) \cdot (-1) = \mathrm{e} - 1 $$ 即 $$ \boxed{\displaystyle{\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \, dx = \mathrm{e} - 1}} $$

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**难度评级**：★★☆☆☆ （涉及定积分定义、等比数列求和与极限运算，思路直接但需注意极限处理细节）

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：计算定积分 ∫_a^b x dx
将区间 [a, b] 等分为 n 个小区间，每个小区间长度为 Δx = (b-a)/n，分点为 x_i = a + iΔx，i=0,1,...,n。取右端点 x_i = a + iΔx 作黎曼和 S_n = Σ_{i=1}^n (a + iΔx) Δx。代入 Δx 得 S_n = (b-a)/n Σ a + (b-a)^2/n^2 Σ i。求和得 S_n = a(b-a) + (b-a)^2/2 * (n+1)/n。取极限 n→∞ 得 ∫_a^b x dx = a(b-a) + (b-a)^2/2 = (b^2 - a^2)/2。
公式：∫_a^b x dx = (b^2 - a^2)/2
提示：注意求和公式 Σ i = n(n+1)/2，极限 lim (n+1)/n = 1。
步骤 2/2
目标：计算定积分 ∫_0^1 e^x dx
将区间 [0,1] 等分为 n 个小区间，Δx = 1/n，x_i = i/n。取右端点作黎曼和 S_n = (1/n) Σ_{i=1}^n e^{i/n}。等比数列求和得 Σ e^{i/n} = e^{1/n}(1-e)/(1-e^{1/n})，故 S_n = (1/n) * e^{1/n}(1-e)/(1-e^{1/n})。取极限 n→∞，令 t=1/n，则极限化为 lim_{t→0} t e^t/(1-e^t)。利用等价无穷小 1-e^t ~ -t，得极限为 -1，故 ∫_0^1 e^x dx = (1-e)*(-1) = e-1。
公式：∫_0^1 e^x dx = e - 1
提示：等比数列求和公式：首项 a1，公比 q，和 = a1(1-q^n)/(1-q)。等价无穷小：当 t→0 时，1-e^t ~ -t。

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