同济高数 第5章 第5-2-2题

教材习题

📝 题目

2．求由参数表达式 $x=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \sin u \mathrm{~d} u, y=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \cos u \mathrm{~d} u$ 所确定的函数对 $x$ 的导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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首先，由参数方程的定义，我们有： $$ x = \int_{0}^{t} \sin u \, \mathrm{d}u, \quad y = \int_{0}^{t} \cos u \, \mathrm{d}u. $$

计算这两个积分： $$ x = \left[ -\cos u \right]_{0}^{t} = -\cos t + \cos 0 = 1 - \cos t, $$ $$ y = \left[ \sin u \right]_{0}^{t} = \sin t - \sin 0 = \sin t. $$

因此参数方程化为： $$ x = 1 - \cos t, \quad y = \sin t. $$

对参数 $t$ 求导： $$ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \sin t, \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \cos t. $$

由参数方程求导公式： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \frac{\cos t}{\sin t} = \cot t, $$ 其中 $\sin t \neq 0$，即 $t \neq k\pi$（$k$ 为整数）。

因此所求导数为： $$ \boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cot t}. $$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：计算积分得到参数方程
计算 x = ∫₀ᵗ sin u du = [-cos u]₀ᵗ = 1 - cos t，y = ∫₀ᵗ cos u du = [sin u]₀ᵗ = sin t。
公式：∫ sin u du = -cos u + C，∫ cos u du = sin u + C
提示：注意积分上下限代入时，上限减下限。
步骤 2/3
目标：对参数 t 求导
dx/dt = sin t，dy/dt = cos t。
公式：d/dt (1 - cos t) = sin t，d/dt (sin t) = cos t
提示：基本导数公式。
步骤 3/3
目标：应用参数方程求导公式
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = cos t / sin t = cot t，其中 sin t ≠ 0。
公式：dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
提示：分母不为零，即 t ≠ kπ。

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