同济高数 第5章 第5-3-2题
📝 题目
2．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明：
$$ \displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(a+b-x) \mathrm{d} x $$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们证明该积分等式。已知 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续，因此可积。
考虑变量替换： 令 $$ t = a + b - x, $$ 则 $$ x = a + b - t, \quad \mathrm{d}x = -\mathrm{d}t. $$
当 $ x = a $ 时，$ t = a + b - a = b $； 当 $ x = b $ 时，$ t = a + b - b = a $。
因此原积分变为： $$ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{t=b}^{t=a} f(a+b-t) \cdot (-\mathrm{d}t) = \int_a^b f(a+b-t) \, \mathrm{d}t. $$
由于定积分与积分变量符号无关，将 $ t $ 改写为 $ x $，即得： $$ \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x = \int_a^b f(a+b-x) \, \mathrm{d}x. $$
证毕。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入变量替换
令 t = a + b - x，则 x = a + b - t，dx = -dt。
公式：t = a + b - x
提示：注意变量替换时积分限的变化。
步骤 2/4
目标：变换积分限
当 x = a 时，t = b；当 x = b 时，t = a。因此积分变为 ∫_{x=a}^{x=b} f(x) dx = ∫_{t=b}^{t=a} f(a+b-t) (-dt)。
提示：积分上下限交换后，负号可抵消。
步骤 3/4
目标：简化积分表达式
∫_{t=b}^{t=a} f(a+b-t) (-dt) = ∫_{t=a}^{t=b} f(a+b-t) dt。
公式：∫_b^a (-dt) = ∫_a^b dt
提示：利用定积分性质：交换上下限改变符号。
步骤 4/4
目标：变量名替换
将积分变量 t 改写为 x，得到 ∫_a^b f(a+b-x) dx。
提示：定积分与积分变量符号无关。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。