同济高数 第5章 第5-3-7题
📝 题目
7．设 $x=\varphi(y)$ 是单调函数 $y=x \mathrm{e}^{x^{2}}$ 的反函数，求 $\displaystyle{\int}_{0}^{\mathrm{e}} \varphi(y) \mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $ y = x e^{x^2} $ 在 $ x \geq 0 $ 时是严格单调递增的（因为导数 $ e^{x^2}(1+2x^2) > 0 $），因此存在反函数 $ x = \varphi(y) $，且定义域为 $ y \in [0, e] $ 对应 $ x \in [0, 1] $。
要求： $$ \int_{0}^{\mathrm{e}} \varphi(y) \, \mathrm{d}y $$ 利用反函数积分公式，当 $ f $ 单调且 $ f(a)=c, f(b)=d $ 时，有 $$ \int_{c}^{d} f^{-1}(y) \, \mathrm{d}y = b f(b) - a f(a) - \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x $$ 这里 $ f(x) = x e^{x^2} $，取 $ a=0, b=1 $，则 $ f(0)=0, f(1)=e $，于是： $$ \int_{0}^{\mathrm{e}} \varphi(y) \, \mathrm{d}y = 1 \cdot e - 0 \cdot 0 - \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, \mathrm{d}x $$ 计算积分： $$ \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{x^2} \cdot 2x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left[ e^{x^2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(e - 1) $$ 因此： $$ \int_{0}^{\mathrm{e}} \varphi(y) \, \mathrm{d}y = e - \frac{1}{2}(e - 1) = \frac{e}{2} + \frac{1}{2} = \frac{e+1}{2} $$
最终结果为： $$ \boxed{\dfrac{e+1}{2}} $$
难度：★★☆☆☆