同济高数 第5章 第5-4-2题
📝 题目
2．求由曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{4 x^{2}-1} 、 x$ 轴和直线 $x=1$ 所围成的向右无限延伸的图形的面积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求的是由曲线 $$ y = \frac{1}{4x^{2} - 1} $$ 与 $x$ 轴以及直线 $x = 1$ 所围成的向右无限延伸的图形的面积。 由于图形向右无限延伸，即积分区间为 $[1, +\infty)$，并且曲线在 $x > 1$ 时 $4x^2 - 1 > 0$，因此 $y > 0$，图形位于 $x$ 轴上方。
所求面积为 $$ S = \displaystyle{}\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{4x^{2} - 1} \, dx $$
首先对分母进行因式分解： $$ 4x^{2} - 1 = (2x - 1)(2x + 1) $$ 利用部分分式分解： $$ \frac{1}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{2x+1} $$ 通分后比较分子： $$ 1 = A(2x+1) + B(2x-1) $$ 令 $x = \frac12$ 得 $$ 1 = A(1+1) + B(0) \implies A = \frac12 $$ 令 $x = -\frac12$ 得 $$ 1 = A(0) + B(-1-1) \implies B = -\frac12 $$ 因此 $$ \frac{1}{4x^{2} - 1} = \frac12\left( \frac{1}{2x-1} - \frac{1}{2x+1} \right) $$
于是积分变为 $$ S = \frac12 \displaystyle{}\int_{1}^{+\infty} \left( \frac{1}{2x-1} - \frac{1}{2x+1} \right) dx $$
计算不定积分： $$ \int \frac{1}{2x-1} dx = \frac12 \ln|2x-1|, \quad \int \frac{1}{2x+1} dx = \frac12 \ln|2x+1| $$ 所以 $$ \int \left( \frac{1}{2x-1} - \frac{1}{2x+1} \right) dx = \frac12 \ln\left| \frac{2x-1}{2x+1} \right| $$ 因此 $$ S = \frac12 \cdot \frac12 \left[ \ln\left( \frac{2x-1}{2x+1} \right) \right]_{1}^{+\infty} = \frac14 \displaystyle{}\lim_{b \to +\infty} \left[ \ln\frac{2b-1}{2b+1} - \ln\frac{2\cdot1-1}{2\cdot1+1} \right] $$
计算极限： $$ \lim_{b\to +\infty} \frac{2b-1}{2b+1} = 1 \implies \ln 1 = 0 $$ 而 $$ \frac{2\cdot1-1}{2\cdot1+1} = \frac{1}{3} $$ 所以 $$ S = \frac14 \left( 0 - \ln\frac13 \right) = \frac14 \ln 3 $$
因此，所求面积为 $$ \boxed{\displaystyle \frac14 \ln 3} $$
难度评级：★★☆☆☆ （涉及无穷限反常积分与有理函数部分分式法，计算量小，思路直接，但需注意极限处理。）