同济高数 第5章 第5-4-4题

教材习题

📝 题目

4．利用递推公式计算反常积分 $I_{n}=\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x(n \in \mathbf{N})$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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我们考虑反常积分 $$ I_n = \int_{0}^{+\infty} x^n e^{-x} \, dx, \quad n \in \mathbb{N}. $$

**第一步：计算递推关系** 利用分部积分法，令 $$ u = x^n, \quad dv = e^{-x} dx, $$ 则 $$ du = n x^{n-1} dx, \quad v = -e^{-x}. $$ 于是 $$ I_n = \left[ -x^n e^{-x} \right]_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} n x^{n-1} e^{-x} dx. $$ 对于第一项，当 $x \to +\infty$ 时，$x^n e^{-x} \to 0$；当 $x=0$ 时，$0^n e^0 = 0$（$n \ge 1$），因此该项为 0。 所以 $$ I_n = n \int_{0}^{+\infty} x^{n-1} e^{-x} dx = n I_{n-1}. $$

**第二步：计算初始值** 当 $n=0$ 时， $$ I_0 = \int_{0}^{+\infty} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{+\infty} = 0 - (-1) = 1. $$

**第三步：递推得到通项公式** 由递推关系 $$ I_n = n I_{n-1} = n (n-1) I_{n-2} = \cdots = n! \, I_0 = n!. $$

因此 $$ \boxed{I_n = n!} $$

**难度评级**：★☆☆☆☆ （属于基础的分部积分与递推应用，计算简单，适合初学者。）

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：建立递推关系
使用分部积分法，令 u = x^n, dv = e^{-x} dx，则 du = n x^{n-1} dx, v = -e^{-x}。代入分部积分公式得 I_n = [-x^n e^{-x}]_0^{+∞} + ∫_0^{+∞} n x^{n-1} e^{-x} dx。第一项在上下限均为0，故 I_n = n I_{n-1}。
公式：I_n = n I_{n-1}
提示：注意验证边界项为0：当 x→∞ 时，x^n e^{-x}→0；当 x=0 时，x^n e^{-x}=0（n≥1）。
步骤 2/3
目标：计算初始值 I_0
计算 I_0 = ∫_0^{+∞} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^{+∞} = 0 - (-1) = 1。
公式：I_0 = 1
提示：直接积分即可。
步骤 3/3
目标：递推得到通项公式
由递推关系 I_n = n I_{n-1}，反复递推得 I_n = n! I_0 = n!。
公式：I_n = n!
提示：递推时注意 n 为正整数。

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