同济高数 第5章 第5-5-4题

教材习题

📝 题目

4．证明 $\displaystyle \Gamma\left(\frac{2 k+1}{2}\right)=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 k-1) \sqrt{\pi}}{2^{k}}$ ，其中 $k \in \mathbf{N}_{+}$．

💡 答案解析

[AI解答]

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**证明**： 我们已知Gamma函数的定义为 $$ \Gamma(z) = \int_{0}^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} \, dt, \quad \Re(z) > 0. $$ 要证明 $$ \Gamma\left(\frac{2k+1}{2}\right) = \frac{(2k-1)!! \, \sqrt{\pi}}{2^{k}}, $$ 其中 $(2k-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)$。

**第一步：递推公式** Gamma函数满足递推关系 $$ \Gamma(z+1) = z \, \Gamma(z). $$ 令 $\displaystyle z = \frac{2k-1}{2}$，则有 $$ \Gamma\left(\frac{2k+1}{2}\right) = \frac{2k-1}{2} \, \Gamma\left(\frac{2k-1}{2}\right). $$

**第二步：反复递推** 反复应用上述递推，得到 $$ \Gamma\left(\frac{2k+1}{2}\right) = \frac{2k-1}{2} \cdot \frac{2k-3}{2} \cdots \frac{1}{2} \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right). $$ 这里共 $k$ 个因子相乘，即 $$ \Gamma\left(\frac{2k+1}{2}\right) = \frac{(2k-1)(2k-3)\cdots 1}{2^{k}} \, \Gamma\left(\frac12\right). $$

**第三步：已知特殊值** 已知 $$ \Gamma\left(\frac12\right) = \sqrt{\pi}. $$ 代入即得 $$ \Gamma\left(\frac{2k+1}{2}\right) = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)}{2^{k}} \, \sqrt{\pi}. $$

因此原等式成立。证毕。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：建立递推关系
利用Gamma函数的递推公式 Γ(z+1)=zΓ(z)，令 z=(2k-1)/2，得到 Γ((2k+1)/2) = ((2k-1)/2) Γ((2k-1)/2)。
公式：Γ(z+1)=zΓ(z)
提示：注意递推公式中z的取值，确保递推正确。
步骤 2/3
目标：反复递推至Γ(1/2)
反复应用递推公式，每次将参数减1/2，直到参数变为1/2。共递推k次，得到 Γ((2k+1)/2) = ((2k-1)/2) * ((2k-3)/2) * ... * (1/2) * Γ(1/2)。
公式：Γ((2k+1)/2) = ∏_{i=1}^k ((2i-1)/2) * Γ(1/2)
提示：乘积中共有k个因子，分子为奇数乘积，分母为2^k。
步骤 3/3
目标：代入特殊值
已知 Γ(1/2)=√π，代入上式即得 Γ((2k+1)/2) = (1·3·5·...·(2k-1) / 2^k) √π。
公式：Γ(1/2)=√π
提示：记住这个常用特殊值。

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