同济高数 第6章 第6-2-1题
📝 题目
1．求图 6－20 中各阴影部分的面积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 由于题目中引用图片无法直接显示，这里假设常见的“图6-20”为教材中由两条曲线围成的阴影区域面积问题。通常这类习题会给出两条函数曲线，例如 $y = f(x)$ 与 $y = g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上围成的面积。 下面以典型情况为例：求由曲线 $y = x^2$ 与直线 $y = x+2$ 所围成阴影部分的面积。若实际图不同，可类比此方法。
**步骤1：确定交点** 解方程 $$ x^2 = x + 2 $$ 移项得 $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ 因式分解 $$ (x-2)(x+1) = 0 $$ 解得 $$ x = -1,\quad x = 2 $$ 所以积分区间为 $[-1, 2]$。
**步骤2：确定上下函数** 在区间 $[-1,2]$ 上，直线 $y = x+2$ 在上方，抛物线 $y = x^2$ 在下方。
**步骤3：面积公式** 阴影部分面积为 $$ S = \displaystyle{\int_{-1}^{2} \big[ (x+2) - x^2 \big] \, dx} $$
**步骤4：计算积分** 先求原函数： $$ \int (x+2 - x^2) \, dx = \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} $$ 代入上下限： $$ S = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} $$ 计算 $x=2$： $$ \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} = 2 + 4 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} = \frac{10}{3} $$ 计算 $x=-1$： $$ \frac{1}{2} - 2 - \frac{-1}{3} = \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{12}{6} + \frac{2}{6} = -\frac{7}{6} $$ 相减得： $$ S = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} $$
**最终答案** $$ \boxed{\dfrac{9}{2}} $$
难度：★★☆☆☆ （若图形为简单曲线与直线围成，计算量小，属于基础定积分应用。）