同济高数 第6章 第6-2-15题

[AI解答]

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我们采用定积分的元素法（微元法）来推导球缺的体积公式。设球的半径为 $R$，球缺的高为 $H$（$0 < H \le 2R$）。建立坐标系如图：将球心置于原点，球缺底面平行于 $xOy$ 平面，且球缺位于 $z$ 轴正方向一侧。

球面方程为： $$ x^2 + y^2 + z^2 = R^2. $$

球缺的底面在 $z = R - H$ 处，顶面在 $z = R$ 处（球顶）。我们考虑用垂直于 $z$ 轴的平面去截球缺，得到一系列圆盘形薄片。

在高度 $z$ 处（$R-H \le z \le R$），截得的圆半径为： $$ r(z) = \sqrt{R^2 - z^2}. $$

该圆盘的面积为： $$ A(z) = \pi r(z)^2 = \pi (R^2 - z^2). $$

取厚度为 $dz$ 的薄片，其体积微元为： $$ dV = A(z) \, dz = \pi (R^2 - z^2) \, dz. $$

因此，球缺的体积为定积分： $$ V = \int_{z = R-H}^{R} \pi (R^2 - z^2) \, dz. $$

计算该积分： $$ \begin{aligned} V &= \pi \int_{R-H}^{R} (R^2 - z^2) \, dz \\ &= \pi \left[ R^2 z - \frac{z^3}{3} \right]_{R-H}^{R} \\ &= \pi \left[ \left( R^2 \cdot R - \frac{R^3}{3} \right) - \left( R^2 (R-H) - \frac{(R-H)^3}{3} \right) \right] \\ &= \pi \left[ \left( R^3 - \frac{R^3}{3} \right) - \left( R^3 - R^2 H - \frac{(R-H)^3}{3} \right) \right] \\ &= \pi \left[ \frac{2R^3}{3} - R^3 + R^2 H + \frac{(R-H)^3}{3} \right] \\ &= \pi \left[ -\frac{R^3}{3} + R^2 H + \frac{(R-H)^3}{3} \right]. \end{aligned} $$

展开 $(R-H)^3 = R^3 - 3R^2 H + 3R H^2 - H^3$，代入： $$ \begin{aligned} V &= \pi \left[ -\frac{R^3}{3} + R^2 H + \frac{R^3 - 3R^2 H + 3R H^2 - H^3}{3} \right] \\ &= \pi \left[ -\frac{R^3}{3} + R^2 H + \frac{R^3}{3} - R^2 H + R H^2 - \frac{H^3}{3} \right] \\ &= \pi \left[ R H^2 - \frac{H^3}{3} \right] \\ &= \pi H^2 \left( R - \frac{H}{3} \right). \end{aligned} $$

证毕。

难度：★★☆☆☆