同济高数 第6章 第6-2-4题
📝 题目
4．求抛物线 $y^{2}=2 p x$ 及其在点 $\displaystyle \left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处的法线所围成的图形的面积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求抛物线 $y^2 = 2px$ 与其在点 $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处的法线所围成图形的面积。
**第一步：求法线方程** 对抛物线方程两边关于 $x$ 求导： $$ 2y \frac{dy}{dx} = 2p \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{p}{y}. $$ 在点 $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处，斜率 $$ k_{\text{切}} = \frac{p}{p} = 1. $$ 因此法线斜率为 $-1$，法线方程为： $$ y - p = -1 \left(x - \frac{p}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad y = -x + \frac{3p}{2}. $$
**第二步：求法线与抛物线的另一交点** 联立 $$ \begin{cases} y^2 = 2px,\\ y = -x + \frac{3p}{2}. \end{cases} $$ 代入得： $$ \left(-x + \frac{3p}{2}\right)^2 = 2px. $$ 展开： $$ x^2 - 3px + \frac{9p^2}{4} = 2px \quad\Rightarrow\quad x^2 - 5px + \frac{9p^2}{4} = 0. $$ 解得： $$ x = \frac{5p \pm \sqrt{25p^2 - 9p^2}}{2} = \frac{5p \pm 4p}{2}. $$ 即 $x = \frac{9p}{2}$ 或 $x = \frac{p}{2}$。 已知点横坐标 $\frac{p}{2}$ 是切点，另一交点横坐标为 $\frac{9p}{2}$，对应纵坐标： $$ y = -\frac{9p}{2} + \frac{3p}{2} = -3p. $$ 所以另一交点为 $\left(\frac{9p}{2}, -3p\right)$。
**第三步：确定积分区域与面积公式** 抛物线 $y^2 = 2px$ 可写成 $x = \frac{y^2}{2p}$，法线方程 $x = -y + \frac{3p}{2}$。 图形在 $y$ 方向从 $y = -3p$ 到 $y = p$，法线在右侧，抛物线在左侧。 面积： $$ A = \displaystyle{\int_{y=-3p}^{p} \left[ \left(-y + \frac{3p}{2}\right) - \frac{y^2}{2p} \right] \, dy}. $$
**第四步：计算积分** $$ A = \displaystyle{\int_{-3p}^{p} \left( -y + \frac{3p}{2} - \frac{y^2}{2p} \right) dy}. $$ 逐项积分： $$ \int -y \, dy = -\frac{y^2}{2}, \quad \int \frac{3p}{2} \, dy = \frac{3p}{2}y, \quad \int -\frac{y^2}{2p} \, dy = -\frac{y^3}{6p}. $$ 所以： $$ A = \left[ -\frac{y^2}{2} + \frac{3p}{2}y - \frac{y^3}{6p} \right]_{y=-3p}^{p}. $$ 先代入 $y = p$： $$ -\frac{p^2}{2} + \frac{3p}{2}\cdot p - \frac{p^3}{6p} = -\frac{p^2}{2} + \frac{3p^2}{2} - \frac{p^2}{6} = \left( -\frac{3}{6} + \frac{9}{6} - \frac{1}{6} \right)p^2 = \frac{5}{6}p^2. $$ 再代入 $y = -3p$： $$ -\frac{9p^2}{2} + \frac{3p}{2}(-3p) - \frac{(-27p^3)}{6p} = -\frac{9p^2}{2} - \frac{9p^2}{2} + \frac{27p^2}{6} = -9p^2 + \frac{9p^2}{2} = -\frac{9p^2}{2}. $$ 注意这里 $\frac{27p^2}{6} = \frac{9p^2}{2}$，所以： $$ -\frac{9p^2}{2} - \frac{9p^2}{2} + \frac{9p^2}{2} = -\frac{9p^2}{2}. $$ 因此： $$ A = \frac{5}{6}p^2 - \left( -\frac{9}{2}p^2 \right) = \frac{5}{6}p^2 + \frac{27}{6}p^2 = \frac{32}{6}p^2 = \frac{16}{3}p^2. $$
**最终答案**： $$ \boxed{\dfrac{16}{3}p^{2}} $$
难度：★★☆☆☆