同济高数 第6章 第6-2-8题

教材习题

📝 题目

8．求对数螺线 $\rho=a \mathrm{e}^{\theta}(-\pi \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 及射线 $\theta=\pi$ 所围成的图形的面积．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 我们要求的是对数螺线 $\rho = a e^{\theta}$ 在角度范围 $-\pi \leqslant \theta \leqslant \pi$ 内与射线 $\theta = \pi$ 所围成的图形面积。 注意：射线 $\theta = \pi$ 是极轴负方向的一条射线，而曲线从 $\theta = -\pi$ 到 $\theta = \pi$ 刚好绕了一圈，与射线 $\theta = \pi$ 围成的区域就是螺线一圈所扫过的面积。

极坐标下，曲线 $\rho = f(\theta)$ 从 $\theta = \alpha$ 到 $\theta = \beta$ 所围成的面积为 $$ S = \frac12 \int_{\alpha}^{\beta} [f(\theta)]^2 \, d\theta. $$ 这里 $f(\theta) = a e^{\theta}$，且 $\alpha = -\pi$，$\beta = \pi$，于是 $$ S = \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \left(a e^{\theta}\right)^2 d\theta = \frac{a^2}{2} \int_{-\pi}^{\pi} e^{2\theta} \, d\theta. $$

计算积分： $$ \int e^{2\theta} d\theta = \frac{1}{2} e^{2\theta}, $$ 所以 $$ S = \frac{a^2}{2} \cdot \left[ \frac{1}{2} e^{2\theta} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{a^2}{4} \left( e^{2\pi} - e^{-2\pi} \right). $$

因此所求面积为 $$ \boxed{\dfrac{a^2}{4}\left(e^{2\pi} - e^{-2\pi}\right)}. $$

难度：★★☆☆☆ （只需直接套用极坐标面积公式，积分计算简单，但需注意指数函数的运算。）

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：确定积分区域
对数螺线 ρ = a e^θ 在 θ 从 -π 到 π 与射线 θ = π 围成图形，即螺线一圈扫过的面积。
提示：注意射线 θ = π 是极轴负方向，曲线从 θ = -π 到 θ = π 恰好一圈。
步骤 2/5
目标：应用极坐标面积公式
极坐标下曲线 ρ = f(θ) 从 α 到 β 围成的面积为 S = 1/2 ∫_α^β [f(θ)]^2 dθ。这里 f(θ) = a e^θ，α = -π，β = π。
公式：S = 1/2 ∫_{-π}^{π} (a e^θ)^2 dθ
步骤 3/5
目标：简化被积函数
(a e^θ)^2 = a^2 e^{2θ}，所以 S = a^2/2 ∫_{-π}^{π} e^{2θ} dθ。
步骤 4/5
目标：计算积分
∫ e^{2θ} dθ = 1/2 e^{2θ}，代入上下限：∫_{-π}^{π} e^{2θ} dθ = (1/2)(e^{2π} - e^{-2π})。
公式：∫ e^{2θ} dθ = 1/2 e^{2θ}
提示：注意指数函数的积分公式。
步骤 5/5
目标：得出面积
S = a^2/2 * (1/2)(e^{2π} - e^{-2π}) = a^2/4 (e^{2π} - e^{-2π})。
公式：S = a^2/4 (e^{2π} - e^{-2π})

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