同济高数 第6章 第6-3-10题

[AI解答]

[AI解答]

**问题分析** 均匀细直棒长度为 $l$，线密度 $\mu$，质量为 $m$ 的质点位于与棒一端垂直距离为 $a$ 处。 建立坐标系：将棒放在 $x$ 轴上，从 $x=0$ 到 $x=l$，质点 $M$ 位于点 $(0, a)$。 取微元 $dx$，其质量为 $dm = \mu dx$，位置为 $(x,0)$。 微元对质点的引力大小由万有引力公式给出（设引力常数为 $G$）：

$$ dF = G \frac{m \cdot dm}{r^2} = G \frac{m \mu dx}{x^2 + a^2} $$

方向沿微元与质点的连线。 由于对称性，水平方向分量可能相互抵消？这里不是对称放置（棒在正半轴），所以需要分别计算水平与垂直分量。

**步骤1：写出微元引力的分量** 设 $\theta$ 为连线与垂直方向的夹角，则 $$ \cos\theta = \frac{a}{\sqrt{x^2 + a^2}}, \quad \sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} $$ 垂直分量（向上为正）： $$ dF_y = dF \cos\theta = G \frac{m \mu a \, dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} $$ 水平分量（向右为正）： $$ dF_x = dF \sin\theta = G \frac{m \mu x \, dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} $$

**步骤2：积分求总引力** 垂直分量： $$ F_y = \displaystyle\int_{0}^{l} G \frac{m \mu a}{(x^2 + a^2)^{3/2}} dx = G m \mu a \displaystyle\int_{0}^{l} \frac{dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} $$ 已知积分公式： $$ \int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2 \sqrt{x^2 + a^2}} + C $$ 所以 $$ F_y = G m \mu a \cdot \left[ \frac{x}{a^2 \sqrt{x^2 + a^2}} \right]_{0}^{l} = \frac{G m \mu}{a} \cdot \frac{l}{\sqrt{l^2 + a^2}} $$

水平分量： $$ F_x = \displaystyle\int_{0}^{l} G \frac{m \mu x}{(x^2 + a^2)^{3/2}} dx = G m \mu \displaystyle\int_{0}^{l} \frac{x dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} $$ 令 $u = x^2 + a^2$，则 $du = 2x dx$，积分变为 $$ \int \frac{x dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{1}{2} \int u^{-3/2} du = -u^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $$ 所以 $$ F_x = G m \mu \left[ -\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right]_{0}^{l} = G m \mu \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{l^2 + a^2}} \right) $$

**步骤3：结果表达** 细棒对质点的引力为向量： $$ \vec{F} = \left( G m \mu \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{\sqrt{l^2 + a^2}} \right),\; \frac{G m \mu l}{a \sqrt{l^2 + a^2}} \right) $$ 其中水平向右为正，垂直向上为正。

**难度评级**：★★★☆☆ （涉及微元法、引力分解与积分计算，需要掌握基本积分公式，但思路直接，无复杂技巧。）