同济高数 第6章 第6-3-2题
📝 题目
2．直径为 20 cm 、高为 80 cm 的圆筒内充满压强为 $10 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}^{2}$ 的蒸汽．设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要做多少功？
💡 答案解析
[AI解答]
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**第一步：确定物理模型与已知条件** 圆筒直径 $d = 20\,\text{cm}$，半径 $r = 10\,\text{cm}$，高 $h = 80\,\text{cm}$。 初始压强 $p_0 = 10\,\text{N/cm}^2$，温度不变，属于等温过程。 由玻意耳定律： $$ pV = \text{常数} $$ 初始体积 $$ V_0 = \pi r^2 h = \pi \times 10^2 \times 80 = 8000\pi \ \text{cm}^3 $$ 设压缩后体积为 $V$，要求 $V = \frac{1}{2}V_0 = 4000\pi\ \text{cm}^3$。
**第二步：建立功的积分表达式** 在等温过程中，压强与体积关系为 $$ p = \frac{p_0 V_0}{V} $$ 当活塞移动使体积变化 $dV$ 时，气体对活塞做功为 $p\,dV$，因此外界对气体做的功（即我们需要做的功）为 $$ W = -\int_{V_0}^{V_1} p\,dV $$ 这里 $V_1 = \frac{V_0}{2}$，负号表示外界压缩气体做功。代入 $p$ 表达式： $$ W = -\int_{V_0}^{V_0/2} \frac{p_0 V_0}{V}\,dV $$
**第三步：计算积分** $$ W = -p_0 V_0 \int_{V_0}^{V_0/2} \frac{1}{V}\,dV = -p_0 V_0 \Bigl[ \ln V \Bigr]_{V_0}^{V_0/2} $$ 代入上下限： $$ W = -p_0 V_0 \left( \ln\frac{V_0}{2} - \ln V_0 \right) = -p_0 V_0 \left( \ln\frac{1}{2} \right) $$ 由于 $\ln\frac{1}{2} = -\ln 2$，得 $$ W = p_0 V_0 \ln 2 $$
**第四步：代入数值** $$ p_0 = 10\ \text{N/cm}^2,\quad V_0 = 8000\pi\ \text{cm}^3 $$ 所以 $$ W = 10 \times 8000\pi \times \ln 2 = 80000\pi \ln 2 \ \text{N·cm} $$ 换算为焦耳（$1\,\text{J} = 10^7\,\text{erg}$，但这里 $1\,\text{N·cm} = 10^{-2}\,\text{J}$）： $$ W = 80000\pi \ln 2 \times 10^{-2} = 800\pi \ln 2 \ \text{J} $$ 取 $\ln 2 \approx 0.6931$，$\pi \approx 3.1416$： $$ W \approx 800 \times 3.1416 \times 0.6931 \approx 1742.2\ \text{J} $$
**最终答案** $$ \boxed{W = 800\pi \ln 2\ \text{J} \ (\approx 1.74\times 10^3\ \text{J})} $$
**难度评级**：★★☆☆☆ （涉及等温过程与简单定积分计算，物理概念清晰，计算量不大。）