同济高数 第6章 第6-3-8题
📝 题目
8．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10 m 和 6 m ，高为 20 m 。较长的底边与水面相齐．计算闸门的一侧所受的水压力．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] **解题步骤**
1. **建立坐标系** 将水面设为 $x$ 轴，竖直向下为 $y$ 轴正方向，闸门较长底边（10 m）位于水面处，即 $y=0$。 闸门高 20 m，因此下底（6 m）位于 $y=20$ 处。
2. **确定宽度随深度的变化关系** 由于闸门是等腰梯形，宽度随深度线性变化。 在水面处宽度为 10 m，在深度 20 m 处宽度为 6 m。 设深度为 $y$ 时的宽度为 $w(y)$，则 $$ w(y) = 10 - \frac{10-6}{20}\, y = 10 - \frac{4}{20}y = 10 - 0.2y $$ 单位：m。
3. **取微元分析压力** 在深度 $y$ 处取厚度为 $dy$ 的水平窄条，其面积微元为 $$ dA = w(y)\, dy = (10 - 0.2y)\, dy $$ 该窄条所处的深度为 $y$，水的密度 $\rho = 1000\,\mathrm{kg/m^3}$，重力加速度 $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$，压强为 $$ p(y) = \rho g y $$ 因此该窄条所受压力微元为 $$ dF = p(y)\, dA = \rho g y\,(10 - 0.2y)\, dy $$
4. **积分求总压力** 总压力为 $$ F = \int_{0}^{20} \rho g y\,(10 - 0.2y)\, dy $$ 将常数 $\rho g$ 提出： $$ F = \rho g \int_{0}^{20} (10y - 0.2y^2)\, dy $$ 计算积分： $$ \int_{0}^{20} 10y\, dy = 10 \cdot \frac{y^2}{2}\Big|_{0}^{20} = 5 \cdot 400 = 2000 $$ $$ \int_{0}^{20} 0.2y^2\, dy = 0.2 \cdot \frac{y^3}{3}\Big|_{0}^{20} = \frac{0.2}{3} \cdot 8000 = \frac{1600}{3} $$ 因此 $$ \int_{0}^{20} (10y - 0.2y^2)\, dy = 2000 - \frac{1600}{3} = \frac{6000 - 1600}{3} = \frac{4400}{3} $$ 代入 $\rho = 1000$，$g = 9.8$： $$ F = 1000 \times 9.8 \times \frac{4400}{3} = 9800 \times \frac{4400}{3} = \frac{9800 \times 4400}{3} $$ 计算数值： $$ 9800 \times 4400 = 43\,120\,000 $$ 所以 $$ F = \frac{43\,120\,000}{3} \approx 1.4373 \times 10^7\ \mathrm{N} $$
**最终答案** $$ \boxed{F = \frac{43120000}{3}\,\mathrm{N} \approx 1.44 \times 10^7\,\mathrm{N}} $$
**难度评级**：★★☆☆☆ （涉及微元法建立积分、线性函数积分，计算量适中，思路常规。）