同济高数 第7章 第7-1-4题
📝 题目
4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件： （1）$x^{2}-y^{2}=C,\left.y\right|_{x=0}=5$ ； （2）$y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{2 x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （3）$y=C_{1} \sin \left(x-C_{2}\right),\left.y\right|_{x=\pi}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**习题7-1 第4题解答**
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### （1） 已知函数关系： $$ x^{2} - y^{2} = C $$ 初值条件： $$ \left. y \right|_{x=0} = 5 $$ 将 $x=0, y=5$ 代入关系式： $$ 0^{2} - 5^{2} = C \quad\Rightarrow\quad C = -25 $$ 因此参数确定为： $$ \boxed{C = -25} $$
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### （2） 已知函数关系： $$ y = (C_{1} + C_{2}x) e^{2x} $$ 初值条件： $$ \left. y \right|_{x=0} = 0,\quad \left. y' \right|_{x=0} = 1 $$
**第一步：代入 $x=0$ 求 $C_1$** $$ y(0) = (C_1 + C_2\cdot 0) e^{0} = C_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 0 $$
**第二步：求导** 由 $y = C_2 x e^{2x}$，利用乘积法则： $$ y' = C_2 e^{2x} + C_2 x \cdot 2 e^{2x} = C_2 e^{2x} (1 + 2x) $$
**第三步：代入 $x=0$ 求 $C_2$** $$ y'(0) = C_2 e^{0} (1 + 0) = C_2 = 1 $$ 因此参数为： $$ \boxed{C_1 = 0,\quad C_2 = 1} $$
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### （3） 已知函数关系： $$ y = C_1 \sin(x - C_2) $$ 初值条件： $$ \left. y \right|_{x=\pi} = 1,\quad \left. y' \right|_{x=\pi} = 0 $$
**第一步：代入 $x=\pi$ 求关系** $$ y(\pi) = C_1 \sin(\pi - C_2) = C_1 \sin C_2 = 1 \quad (1) $$ （因为 $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$）
**第二步：求导** $$ y' = C_1 \cos(x - C_2) $$ 代入 $x=\pi$： $$ y'(\pi) = C_1 \cos(\pi - C_2) = -C_1 \cos C_2 = 0 $$ 因此 $$ - C_1 \cos C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 \cos C_2 = 0 $$
**第三步：解参数** 若 $C_1 = 0$，则由 (1) 得 $0 = 1$，矛盾。 故必有 $\cos C_2 = 0$，即 $$ C_2 = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k \in \mathbb{Z} $$ 代入 (1)： $$ C_1 \sin\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = C_1 \cdot (-1)^k = 1 $$ 因此 $$ C_1 = (-1)^k $$ 通常取主值，例如取 $k=0$ 得： $$ C_1 = 1,\quad C_2 = \frac{\pi}{2} $$ 所以参数为： $$ \boxed{C_1 = 1,\ C_2 = \frac{\pi}{2}} $$
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**难度评级**：★★☆☆☆