同济高数 第7章 第7-2-4题
📝 题目
4．质量为 1 g 的质点受外力作用做直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比．在 $t=10 \mathrm{~s}$ 时，速度等于 $50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，外力为 $4 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}$ ，问从运动开始经过了 1 min 后的速度是多少？
💡 答案解析
[AI解答]
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根据题意，质点质量 $ m = 1 \, \mathrm{g} $，外力 $ F $ 与时间 $ t $ 成正比，与速度 $ v $ 成反比，因此可设 $$ F = k \frac{t}{v} $$ 其中 $ k $ 为比例常数。
由牛顿第二定律 $ F = m \frac{dv}{dt} $，且 $ m = 1 $，故有 $$ \frac{dv}{dt} = k \frac{t}{v} $$ 即 $$ v \, dv = k \, t \, dt $$ 两边积分： $$ \int v \, dv = \int k t \, dt $$ $$ \frac{1}{2} v^{2} = \frac{1}{2} k t^{2} + C $$ 化简得 $$ v^{2} = k t^{2} + 2C $$ 令 $ 2C = C_1 $，则 $$ v^{2} = k t^{2} + C_1 $$
利用已知条件确定常数。已知 $ t = 10 \, \mathrm{s} $ 时，$ v = 50 \, \mathrm{cm/s} $，且此时外力 $ F = 4 \, \mathrm{g \cdot cm / s^{2}} $。 由 $ F = k \frac{t}{v} $ 得 $$ 4 = k \cdot \frac{10}{50} \quad\Rightarrow\quad 4 = k \cdot \frac{1}{5} \quad\Rightarrow\quad k = 20 $$
再代入速度关系式： 当 $ t = 10 $，$ v = 50 $ 时， $$ 50^{2} = 20 \times 10^{2} + C_1 $$ $$ 2500 = 20 \times 100 + C_1 = 2000 + C_1 $$ $$ C_1 = 500 $$
因此速度与时间的关系为 $$ v^{2} = 20 t^{2} + 500 $$
现在求 $ t = 1 \, \mathrm{min} = 60 \, \mathrm{s} $ 时的速度： $$ v^{2} = 20 \times 60^{2} + 500 = 20 \times 3600 + 500 = 72000 + 500 = 72500 $$ $$ v = \sqrt{72500} = \sqrt{725 \times 100} = 10 \sqrt{725} $$ 化简 $ \sqrt{725} = \sqrt{25 \times 29} = 5\sqrt{29} $，所以 $$ v = 10 \times 5 \sqrt{29} = 50 \sqrt{29} \, \mathrm{cm/s} $$
因此，从运动开始经过 1 min 后的速度为 $$ \boxed{50\sqrt{29}\ \mathrm{cm/s}} $$
难度：★★☆☆☆