同济高数 第7章 第7-2-7题
📝 题目
7．小船从河边点 $O$ 处出发驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为 $a$ ，小船航行的方向始终与河岸垂直，又设河宽为 $h$ ，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为 $k)$ ．求小船的航行路线．
💡 答案解析
[AI解答]
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**第一步：建立坐标系与设定变量** 取河岸为 $x$ 轴，河宽方向为 $y$ 轴，点 $O$ 为原点 $(0,0)$，对岸为直线 $y = h$。 设小船在时刻 $t$ 的位置为 $(x(t), y(t))$。 船速大小恒为 $a$，方向始终垂直于河岸，即沿 $y$ 轴正方向，因此 $$ \frac{dy}{dt} = a. $$ 水流速度方向沿 $x$ 轴正方向，大小与点到两岸距离的乘积成正比。 点到左岸距离为 $y$，到右岸距离为 $h - y$，因此水流速度 $$ v_{\text{水}}(y) = k\, y\,(h - y). $$ 水流速度使船产生水平方向的速度分量，故 $$ \frac{dx}{dt} = k\, y\,(h - y). $$
**第二步：消去时间变量 $t$** 由 $\displaystyle\frac{dy}{dt} = a$ 得 $\displaystyle dt = \frac{dy}{a}$，代入 $dx$ 表达式： $$ dx = k\, y\,(h - y)\, dt = \frac{k}{a}\, y\,(h - y)\, dy. $$ 初始条件：当 $y=0$ 时，$x=0$。
**第三步：积分求 $x$ 与 $y$ 的关系** $$ x = \int_{0}^{y} \frac{k}{a}\, \xi\,(h - \xi)\, d\xi = \frac{k}{a} \int_{0}^{y} (h\xi - \xi^{2})\, d\xi. $$ 计算积分： $$ \int_{0}^{y} h\xi\, d\xi = \frac{h y^{2}}{2},\quad \int_{0}^{y} \xi^{2}\, d\xi = \frac{y^{3}}{3}. $$ 因此 $$ x = \frac{k}{a} \left( \frac{h y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{3} \right). $$
**第四步：写出航行路线方程** 整理得小船轨迹方程： $$ \boxed{x = \frac{k}{a} \left( \frac{h}{2} y^{2} - \frac{1}{3} y^{3} \right)},\quad 0 \le y \le h. $$ 这是一条三次曲线，起点为 $(0,0)$，终点为 $\displaystyle\left( \frac{k h^{3}}{6a},\, h \right)$。
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**难度评级**：★★☆☆☆ （主要涉及微分方程建模与简单积分，思路直接，计算量小。）