新讲 第5章 原函数与不定积分 第1题
📝 题目
例 1 试求 $\frac{1}{{\left( x - 1\right) }^{2}\left( {x - 2}\right) }$ 的部分分式分解.
💡 答案解析
解 设
$$ \frac{1}{{\left( x - 1\right) }^{2}\left( {x - 2}\right) } = \frac{A}{x - 1} + \frac{{A}^{\prime }}{{\left( x - 1\right) }^{2}} + \frac{B}{x - 2}. $$
消去分母得
$$ 1 = A\left( {{x}^{2} - {3x} + 2}\right) + {A}^{\prime }\left( {x - 2}\right) + B\left( {{x}^{2} - {2x} + 1}\right) . $$
比较上式两边同次项系数得
$$ \begin{array}{ll} {x}^{2} - A & + B = 0, \\ x - {3A} + {A}^{\prime } - {2B} & = 0, \\ {2A} - 2{A}^{\prime } + B & = 1. \end{array} $$
解这方程组得到: $A = - 1,{A}^{\prime } = - 1,B = 1$ . 于是,我们得到
$$ \frac{1}{{\left( x - 1\right) }^{2}\left( {x - 2}\right) } = \frac{-1}{x - 1} + \frac{-1}{{\left( x - 1\right) }^{2}} + \frac{1}{x - 2}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定部分分式形式
设 \(\frac{1}{{(x-1)}^2(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{A'}{{(x-1)}^2} + \frac{B}{x-2}\)
提示：分母有重因式 \((x-1)^2\) 和单因式 \((x-2)\)，部分分式需包含对应项。
步骤 2/5
目标：消去分母
两边乘以 \((x-1)^2(x-2)\) 得 \(1 = A(x^2 - 3x + 2) + A'(x-2) + B(x^2 - 2x + 1)\)
提示：注意展开时各项系数正确。
步骤 3/5
目标：比较系数建立方程组
比较 \(x^2\)、\(x\) 和常数项系数：
\[
\begin{cases}
x^2: & A + B = 0 \\
x: & -3A + A' - 2B = 0 \\
常数: & 2A - 2A' + B = 1
\end{cases}
\]
提示：将右边多项式展开后合并同类项，再与左边1（即 \(0x^2+0x+1\)）比较。
步骤 4/5
目标：解方程组
解得 \(A = -1, A' = -1, B = 1\)
提示：代入验证：从第一个方程得 \(B = -A\)，代入后两个方程可解。
步骤 5/5
目标：写出部分分式分解结果
因此 \(\frac{1}{{(x-1)}^2(x-2)} = \frac{-1}{x-1} + \frac{-1}{{(x-1)}^2} + \frac{1}{x-2}\)
提示：注意负号的处理，最终结果可写成 \(-\frac{1}{x-1} - \frac{1}{{(x-1)}^2} + \frac{1}{x-2}\)。
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