新讲 第2章 极 限 第9题
📝 题目
例 9 求极限
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{q}^{k - 1}\;\left( {\left| q\right| < 1}\right) $$
💡 答案解析
解 我们有
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{q}^{k - 1} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow + \infty }}\frac{1 - {q}^{n}}{1 - q} = \frac{1}{1 - q}. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别级数类型
观察到求和式 ∑_{k=1}^n q^{k-1} 是等比数列的前 n 项和，首项为 1，公比为 q。
提示：注意 |q|<1 保证级数收敛。
步骤 2/3
目标：应用等比数列求和公式
利用等比数列求和公式：∑_{k=1}^n q^{k-1} = (1 - q^n)/(1 - q)。
公式：∑_{k=1}^n q^{k-1} = (1 - q^n)/(1 - q)
提示：公式成立需 q ≠ 1，此处 |q|<1 满足条件。
步骤 3/3
目标：求极限
当 n → +∞ 时，由于 |q|<1，有 q^n → 0，因此极限为 1/(1-q)。
公式：lim_{n→∞} (1 - q^n)/(1 - q) = 1/(1 - q)
提示：极限存在且有限。
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