新讲 第8章 利用导数研究函数 第2题

教材习题

📝 题目

例 2 求函数 $f\left( x\right) = \sin x$ 和 $g\left( x\right) = \cos x$ 的麦克劳林公式.

💡 答案解析

解 我们有

$$ {f}^{\left( k\right) }\left( x\right) = \sin \left( {x + \frac{k\pi }{2}}\right) ,\;{f}^{\left( 2k\right) }\left( 0\right) = 0, $$

$$ {f}^{\left( 2k + 1\right) }\left( 0\right) = {\left( -1\right) }^{k},\;k = 0,1,2,\cdots ; $$

$$ {g}^{\left( k\right) }\left( x\right) = \cos \left( {x + \frac{k\pi }{2}}\right) ,\;{g}^{\left( 2k\right) }\left( 0\right) = {\left( -1\right) }^{k}, $$

$$ {g}^{\left( 2k + 1\right) }\left( 0\right) = 0,\;k = 0,1,2,\cdots . $$

于是

$$ \sin x = x - \frac{{x}^{3}}{3!} + \frac{{x}^{5}}{5!} - \cdots + {\left( -1\right) }^{n - 1}\frac{{x}^{{2n} - 1}}{\left( {{2n} - 1}\right) !} + o\left( {x}^{2n}\right) , $$

$$ \cos x = 1 - \frac{{x}^{2}}{2!} + \frac{{x}^{4}}{4!} - \cdots + {\left( -1\right) }^{n}\frac{{x}^{2n}}{\left( {2n}\right) !} + o\left( {x}^{{2n} + 1}\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：求f(x)=sin x的k阶导数公式
计算f(x)=sin x的k阶导数，得到f^(k)(x)=sin(x+kπ/2)。
公式：f^(k)(x)=sin(x+kπ/2)
提示：利用正弦函数的周期性，每求导一次相位增加π/2。
步骤 2/6
目标：求f(x)在x=0处的各阶导数
代入x=0，得到f^(2k)(0)=0，f^(2k+1)(0)=(-1)^k。
公式：f^(2k)(0)=0, f^(2k+1)(0)=(-1)^k
提示：偶数阶导数为0，奇数阶导数交替为±1。
步骤 3/6
目标：求g(x)=cos x的k阶导数公式
计算g(x)=cos x的k阶导数，得到g^(k)(x)=cos(x+kπ/2)。
公式：g^(k)(x)=cos(x+kπ/2)
提示：类似正弦函数，每求导一次相位增加π/2。
步骤 4/6
目标：求g(x)在x=0处的各阶导数
代入x=0，得到g^(2k)(0)=(-1)^k，g^(2k+1)(0)=0。
公式：g^(2k)(0)=(-1)^k, g^(2k+1)(0)=0
提示：偶数阶导数交替为±1，奇数阶导数为0。
步骤 5/6
目标：写出sin x的麦克劳林公式
利用麦克劳林公式，将f(x)在x=0处展开，得到sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ... + (-1)^(n-1) x^(2n-1)/(2n-1)! + o(x^(2n))。
公式：sin x = Σ_{k=0}^{n-1} (-1)^k x^(2k+1)/(2k+1)! + o(x^(2n))
提示：注意余项为o(x^(2n))，因为展开到2n-1次项。
步骤 6/6
目标：写出cos x的麦克劳林公式
利用麦克劳林公式，将g(x)在x=0处展开，得到cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... + (-1)^n x^(2n)/(2n)! + o(x^(2n+1))。
公式：cos x = Σ_{k=0}^{n} (-1)^k x^(2k)/(2k)! + o(x^(2n+1))
提示：注意余项为o(x^(2n+1))，因为展开到2n次项。

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