新讲 第8章 利用导数研究函数 第5题
📝 题目
例 5 作函数 $y = \frac{{x}^{2}}{1 + x}$ 的图形.
💡 答案解析
解 该函数的定义域为
$$ \left( {-\infty , - 1}\right) \cup \left( {-1, + \infty }\right) \text{ . } $$
因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - 1}}y = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - 1}}\frac{{x}^{2}}{1 + x} = \infty , $$
所以图形有竖直渐近线 $x = - 1$ . 又因为
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{y}{x} = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{x}{1 + x} = 1, $$
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\left( {y - x}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}\frac{-x}{1 + x} = - 1, $$
所以图形有斜渐近线 $y = x - 1$ . 计算函数 $y = \frac{{x}^{2}}{1 + x}$ 的导数得
$$ {y}^{\prime } = \frac{{2x} + {x}^{2}}{{\left( 1 + x\right) }^{2}} = 1 - \frac{1}{{\left( 1 + x\right) }^{2}},\;{y}^{\prime \prime } = \frac{2}{{\left( 1 + x\right) }^{3}}. $$
我们列表讨论函数 $y = \frac{{x}^{2}}{1 + x}$ 的升降与极值,凹凸与拐点:
\begin{center} \adjustbox{max width=\textwidth}{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & $\left( {-\infty , - 2}\right)$ & -2 & (-2, - 1) & (-1,0) & 0 & $\left( {0, + \infty }\right)$ \\ \cline{1-7} ${y}^{\prime }$ & + & 0 & - & - & 0 & + \\ \cline{1-7} ${y}^{\prime \prime }$ & - & - & - & + & + & + \\ \cline{1-7} $y$ & C & -4 & ↓ & ↘ & 0 & J \\ \cline{1-7} 备注 & \phantom{X} & 极大 & \phantom{X} & \phantom{X} & 极小 & \phantom{X} \\ \cline{1-7} \hline \end{tabular} } \end{center}
这个函数的图形描绘在图 8-8 中.
\begin{center} \includegraphics[max width=0.3\textwidth]{images/040.jpg} \end{center} \hspace*{3em}
图 8-8